ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} + 2 (2) + 4$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 2$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8 - 4 {(2)}^{2} + 2 (2) + 4$

خطوة 4.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$8 - 4 \cdot 4 + 2 (2) + 4$

خطوة 4.1.3

اضرب $- 4$ في $4$ .

$8 - 16 + 2 (2) + 4$

خطوة 4.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$8 - 16 + 4 + 4$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $16$ من $8$ .

$- 8 + 4 + 4$

خطوة 4.2.2

أضف $- 8$ و $4$ .

$- 4 + 4$

خطوة 4.2.3

أضف $- 4$ و $4$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $2$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4}{x - 2}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 4)$ .

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$
		$2$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$
		$2$
	$1$	$- 2$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 2)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(- 4)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(2)$ .

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$
		$2$	$- 4$
	$1$	$- 2$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$
		$2$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$- 2$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 2)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(- 4)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(4)$ .

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$
		$2$	$- 4$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$- 2$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$
		$2$	$- 4$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$- 2$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{2} + - 2 x - 2$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{2} - 2 x - 2$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة لإيجاد أي جذور متبقية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 2$ و $c = - 2$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.3

أضف $4$ و $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 7.3.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

خطوة 7.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.3

أضف $4$ و $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 7.4.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

خطوة 7.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

خطوة 7.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.3

أضف $4$ و $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 7.5.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

خطوة 7.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

خطوة 7.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

خطوة 8

يمكن كتابة متعدد الحدود على هيئة مجموعة من العوامل الخطية.

$(x - 2) (x - 1 - \sqrt{3}) (x - 1 + \sqrt{3})$

خطوة 9

هذه هي جذور (أصفار) متعدد الحدود $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4$ .

$x = 2, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = 2, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$x = 2, 2.73205080 \dots, - 0.73205080 \dots$

خطوة 11