ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = - 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$1 - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

خطوة 4.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 3 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

خطوة 4.1.3

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$1 + 3 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

خطوة 4.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 3 - 6 \cdot 1 + 6 (- 1) + 8$

خطوة 4.1.5

اضرب $- 6$ في $1$ .

$1 + 3 - 6 + 6 (- 1) + 8$

خطوة 4.1.6

اضرب $6$ في $- 1$ .

$1 + 3 - 6 - 6 + 8$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $1$ و $3$ .

$4 - 6 - 6 + 8$

خطوة 4.2.2

اطرح $6$ من $4$ .

$- 2 - 6 + 8$

خطوة 4.2.3

اطرح $6$ من $- 2$ .

$- 8 + 8$

خطوة 4.2.4

أضف $- 8$ و $8$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8}{x + 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(- 1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$	$- 4$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 4)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(4)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 2$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 2)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(8)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(- 8)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(8)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$	$0$

خطوة 6.11

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 2) x + 8$

خطوة 6.12

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8$

خطوة 7

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x + 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x + 1) + x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

$(x + 1) x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

خطوة 8

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x - 4$ .

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 2)$

خطوة 9

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد تجميع الحدود.

$- 3 x^{3} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

خطوة 9.2

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x^{3} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

خطوة 9.2.2

أخرِج العامل $- 3 x$ من $6 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 2 + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

خطوة 9.2.3

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 2)$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

خطوة 9.3

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} + 8 = 0$

خطوة 9.4

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 6 u + 8 = 0$

خطوة 9.5

حلّل $u^{2} - 6 u + 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $8$ ومجموعهما $- 6$ .

$- 4, - 2$

خطوة 9.5.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- 3 x (x^{2} - 2) + (u - 4) (u - 2) = 0$

خطوة 9.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 9.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 9.8

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 9.9

أخرِج العامل $x^{2} - 2$ من $- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.9.1

أخرِج العامل $x^{2} - 2$ من $- 3 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 9.9.2

أخرِج العامل $x^{2} - 2$ من $(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

خطوة 9.9.3

أخرِج العامل $x^{2} - 2$ من $(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

خطوة 9.10

وسّع $(x + 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

خطوة 9.10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

خطوة 9.10.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

خطوة 9.11

جمّع الحدود المتعاكسة في $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.11.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x \cdot - 2$ و $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

خطوة 9.11.2

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

خطوة 9.11.3

أضف $x \cdot x$ و $0$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

خطوة 9.12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.12.1

اضرب $x$ في $x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

خطوة 9.12.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

خطوة 9.13

أعِد ترتيب الحدود.

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

خطوة 9.14

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.14.1

حلّل $x^{2} - 3 x - 4$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.14.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 4$ ومجموعهما $- 3$ .

$- 4, 1$

خطوة 9.14.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

خطوة 9.14.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$

خطوة 10

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $x^{2} - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 2$

خطوة 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

خطوة 11.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{2}$

خطوة 11.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{2}$

خطوة 11.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 12.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 13.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 14

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

الصيغة العشرية:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 4, - 1$

خطوة 16