ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(x^{\frac{2}{3}} - 1)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{\frac{2}{3}} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{2}{3}} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{2}{3}} - 1$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{\frac{2}{3}} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 6.2

اطرح $3$ من $2$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 7.3

انقُل $x^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0)$

خطوة 9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ و $0$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ و $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)$

خطوة 9.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

خطوة 10.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ و $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

خطوة 10.2.2

انقُل $x^{\frac{1}{3}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{4 x^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

خطوة 10.2.3

اضرب $x^{\frac{2}{3}}$ في $x^{- \frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

انقُل $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 (x^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

خطوة 10.2.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 x^{- \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

خطوة 10.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 x^{\frac{- 1 + 2}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

خطوة 10.2.3.4

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

خطوة 10.2.4

اجمع $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ و $- 1$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot - 1}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.5

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$