ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$(- 1, \frac{π}{8})$

خطوة 1

استخدِم صيغ التحويل للتحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات المتعامدة.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي $r = - 1$ و $θ = \frac{π}{8}$ المعروفتين في القواعد.

$x = (- 1) \cos (\frac{π}{8})$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{8})$ هي $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $\frac{π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$x = - 1 \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 3.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$x = - 1 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 3.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام موجبة في الربع الأول.

$x = - 1 \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 3.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 3.5

بسّط $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$x = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 3.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 3.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 3.5.4

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 3.5.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 3.5.5

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 3.5.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 3.5.6.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 4

أعِد كتابة $- 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ بالصيغة $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{8})$ هي $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

خطوة 5.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة الجيب.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

خطوة 5.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة الجيب موجبة في الربع الأول.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

خطوة 5.4

بسّط $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

خطوة 5.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

خطوة 5.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

خطوة 5.4.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

خطوة 5.4.5

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.1

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

خطوة 5.4.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

خطوة 5.4.6

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.4.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 5.4.7.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

خطوة 6

أعِد كتابة $- 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ بالصيغة $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

خطوة 7

تمثيل النقطة القطبية $(- 1, \frac{π}{8})$ بالإحداثيات المستطيلة هو $(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$ .

$(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$