ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 1$ , $\frac{1}{4} x - \frac{1}{6} y = - \frac{3}{2}$

خطوة 1

مثّل سلسلة المعادلات في شكل مصفوفة.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$

خطوة 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

خطوة 2.2

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 2.3

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $\frac{1}{2} (- \frac{1}{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 2.3.1.1.2

اضرب $2$ في $6$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{3 \cdot 4}$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $3$ في $4$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{12}$

خطوة 2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 - 1}{12}$

خطوة 2.3.3

اطرح $1$ من $- 1$ .

$\frac{- 2}{12}$

خطوة 2.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

خطوة 2.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

خطوة 2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

خطوة 2.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{6}$

خطوة 2.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{6}$

$D = - \frac{1}{6}$

خطوة 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

خطوة 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{2} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

خطوة 4.2

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- \frac{1}{6}) - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 4.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

اضرب $- \frac{1}{6}$ في $1$ .

$- \frac{1}{6} - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 4.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- \frac{1}{6} - (\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 4.2.2.1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 4.2.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 4.2.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{6} - \frac{- 1}{2}$

خطوة 4.2.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{6} - - \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.2.1.4

اضرب $- - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{6} + 1 (\frac{1}{2})$

خطوة 4.2.2.1.4.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.2.2

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.2.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.2.2.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{6}$

خطوة 4.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 + 3}{6}$

خطوة 4.2.2.5

أضف $- 1$ و $3$ .

$\frac{2}{6}$

خطوة 4.2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

خطوة 4.2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3}$

$D_{x} = \frac{1}{3}$

خطوة 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

خطوة 4.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $\frac{1}{3}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{\frac{1}{3}}{- \frac{1}{6}}$

خطوة 4.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{1}{3} (- 1 \cdot 6)$

خطوة 4.6

اضرب $- 1$ في $6$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot - 6$

خطوة 4.7

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

خطوة 4.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

خطوة 4.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = - 2$

خطوة 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{4} & - \frac{3}{2} \end{array} |$

خطوة 5.2

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{2}) - \frac{1}{4} \cdot 1$

خطوة 5.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

اضرب $\frac{1}{2} (- \frac{3}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 1$

خطوة 5.2.2.1.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

خطوة 5.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 3 - 1}{4}$

خطوة 5.2.2.3

اطرح $1$ من $- 3$ .

$\frac{- 4}{4}$

خطوة 5.2.2.4

اقسِم $- 4$ على $4$ .

$- 1$

$D_{y} = - 1$

خطوة 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

خطوة 5.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $- 1$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 1}{- \frac{1}{6}}$

خطوة 5.5

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y = \frac{1}{\frac{1}{6}}$

خطوة 5.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = 1 \cdot 6$

خطوة 5.7

اضرب $6$ في $1$ .

$y = 6$

خطوة 6

اسرِد الحل لسلسلة المعادلات.

$x = - 2$

$y = 6$