ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$- 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot i$

خطوة 1

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- 1 - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 3

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 4

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = - 1$ و $b = - \frac{1 \sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.2

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

اضرب $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3}{9} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.6

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 (1)}{9} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + 1}$

خطوة 5.7.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}$

خطوة 5.7.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{3}}$

خطوة 5.7.4

أضف $1$ و $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{3}}$

خطوة 5.8

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{4}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.9.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.10

اضرب $\frac{2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.11

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 5.11.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 5.11.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 5.11.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.11.5

أضف $1$ و $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 5.11.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.11.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.11.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.11.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.11.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.11.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 6

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1})$

خطوة 7

بما أن دالة المماس العكسية لـ $\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1}$ ينتج عنها وجود زاوية في الربع الثالث، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

خطوة 8

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{7 π}{6}$ و $| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))}$