ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (\frac{5 π}{8}) = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ , $\sin (\frac{5 π}{16})$

خطوة 1

استخدِم تعريف جيب التمام لإيجاد أطوال الأضلاع المعروفة للمثلث قائم الزاوية في دائرة الوحدة. يحدد الربع علامة كل قيمة من القيم.

$\cos (\frac{5 π}{8}) = \frac{مجاور}{وتر}$

خطوة 2

أوجِد الضلع المقابل لمثلث دائرة الوحدة. ونظرًا إلى أن الضلع المجاور والوتر معروفان، استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المتبقي.

$المقابل = \sqrt{{وتر}^{2} - {مجاور}^{2}}$

خطوة 3

استبدِل القيم المعروفة في المعادلة.

$المقابل = \sqrt{{(1)}^{2} - {(- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

خطوة 4

بسّط ما تحت علامة الجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{(1 - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ و $v$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

خطوة 4.2.2

اجمع $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ و $v$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

خطوة 4.2.3

اضرب $- - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + 1 (\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}))}$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ في $1$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

خطوة 5

استخدِم تعريف الجيب لإيجاد قيمة $\sin (\frac{5 π}{8})$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{مقابل}{وتر}$

خطوة 6

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}}{1}$

خطوة 7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اقسِم $\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$ على $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

خطوة 7.1.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(\frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

خطوة 7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

خطوة 7.3

أعِد كتابة $\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

خطوة 7.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

خطوة 7.3.3

اضرب $- - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + 1 \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

خطوة 7.3.3.2

اضرب $\sqrt{2}$ في $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

خطوة 7.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

خطوة 7.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (\frac{2}{2} + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

خطوة 7.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + (2 - \sqrt{2}) v}{2}}$

خطوة 7.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}}$

خطوة 7.7

اضرب $\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2}$ في $\frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{2 \cdot 2}}$

خطوة 7.8

اضرب $2$ في $2$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}}$

خطوة 7.9

أعِد كتابة $\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{4}}$

خطوة 7.9.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}}$

خطوة 7.9.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}$

خطوة 7.10

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$

خطوة 7.11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}}{2}$

خطوة 8

احسِب قيمة $\sin (\frac{5 π}{16})$ .

$0.83146961$

خطوة 9

عوّض بالقيم في $0.83146961$ .

$\sin (\frac{5 π}{16}) = 0.83146961$