ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{n \to 8} \frac{n!}{n^{n}}$

خطوة 1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} n^{n}}$

خطوة 2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $n^{n}$ بالصيغة $e^{\ln (n^{n})}$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{n})}}$

خطوة 2.2

وسّع $\ln (n^{n})$ بنقل $n$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n)}}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n)}}$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

خطوة 3.3

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

خطوة 4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $n$ بـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد $n!$ بالتعويض عن $n$ بـ $8$ .

$\frac{8!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

خطوة 4.2

وسّع $8!$ إلى $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

خطوة 4.3

اضرب $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $8$ في $7$ .

$\frac{56 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

خطوة 4.3.2

اضرب $56$ في $6$ .

$\frac{336 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

خطوة 4.3.3

اضرب $336$ في $5$ .

$\frac{1680 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

خطوة 4.3.4

اضرب $1680$ في $4$ .

$\frac{6720 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

خطوة 4.3.5

اضرب $6720$ في $3$ .

$\frac{20160 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

خطوة 4.3.6

اضرب $20160$ في $2$ .

$\frac{40320 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

خطوة 4.3.7

اضرب $40320$ في $1$ .

$\frac{40320}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

خطوة 4.4

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $8$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

خطوة 4.5

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $8$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط $8 \cdot \ln (8)$ بنقل $8$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{40320}{e^{\ln (8^{8})}}$

خطوة 5.1.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\frac{40320}{8^{8}}$

خطوة 5.1.3

ارفع $8$ إلى القوة $8$ .

$\frac{40320}{16777216}$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $40320$ و $16777216$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $128$ من $40320$ .

$\frac{128 (315)}{16777216}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $128$ من $16777216$ .

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{315}{131072}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{315}{131072}$

الصيغة العشرية:

$0.00240325 \dots$