ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 3 x + 1}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ ومجموعهما $b = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 3 (x) + 1}$

خطوة 1.1.1.2

أعِد كتابة $3$ في صورة $1$ زائد $2$

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}$

خطوة 1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}$

خطوة 1.1.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + x + 2 x + 1}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{x + 2}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}$

خطوة 1.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{x + 2}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}$

خطوة 1.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x + 1$ .

$\frac{x + 2}{(2 x + 1) (x + 1)}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

خطوة 1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

خطوة 1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 1.6.2

اقسِم $x + 2$ على $1$ .

$x + 2 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x + 2 = \frac{A (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 1.7.1.2

اقسِم $(A) (x + 1)$ على $1$ .

$x + 2 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x + 2 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 1.7.3

اضرب $A$ في $1$ .

$x + 2 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x + 2 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 1.7.4.2

اقسِم $(B) (2 x + 1)$ على $1$ .

$x + 2 = A x + A + (B) (2 x + 1)$

خطوة 1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$x + 2 = A x + A + B (2 x) + B \cdot 1$

خطوة 1.7.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x + 2 = A x + A + 2 B x + B \cdot 1$

خطوة 1.7.7

اضرب $B$ في $1$ .

$x + 2 = A x + A + 2 B x + B$

خطوة 1.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

انقُل $B$ .

$x + 2 = A x + A + 2 x B + B$

خطوة 1.8.2

انقُل $A$ .

$x + 2 = A x + 2 x B + A + B$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A + 2 B$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$2 = A + B$

خطوة 2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$1 = A + 2 B$

$2 = A + B$

$1 = A + 2 B$

$2 = A + B$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = A + 2 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + 2 B = 1$ .

$A + 2 B = 1$

$2 = A + B$

خطوة 3.1.2

اطرح $2 B$ من كلا المتعادلين.

$A = 1 - 2 B$

$2 = A + B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = A + B$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1 - 2 B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $2 = A + B$ بـ $1 - 2 B$ .

$2 = (1 - 2 B) + B$

$A = 1 - 2 B$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أضف $- 2 B$ و $B$ .

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $B$ في $2 = 1 - B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 - B = 2$ .

$1 - B = 2$

$A = 1 - 2 B$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- B = 2 - 1$

$A = 1 - 2 B$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$- B = 1$

$A = 1 - 2 B$

$- B = 1$

$A = 1 - 2 B$

خطوة 3.3.3

اقسِم كل حد في $- B = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم كل حد في $- B = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

خطوة 3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

خطوة 3.3.3.2.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

خطوة 3.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

خطوة 3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $- 1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = 1 - 2 B$ بـ $- 1$ .

$A = 1 - 2 \cdot - 1$

$B = - 1$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط $1 - 2 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$A = 1 + 2$

$B = - 1$

خطوة 3.4.2.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

خطوة 3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = 3, B = - 1$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{3}{2 x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$