ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 5}{x^{2} - 2 x - 8}$

خطوة 1

اقسِم باستخدام قسمة متعددات الحدود المطولة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

							$2 x$
	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$2 x$
$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$
					+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$16 x$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x$

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

خطوة 1.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$5$

خطوة 1.7

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$2 x + \frac{x + 5}{x^{2} - 2 x - 8}$

خطوة 2

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل $x^{2} - 2 x - 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 8$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 4, 2$

خطوة 2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{x + 5}{(x - 4) (x + 2)}$

خطوة 2.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

خطوة 2.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$

خطوة 2.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.6.2

اقسِم $x + 5$ على $1$ .

$x + 5 = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x + 5 = \frac{A (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.7.1.2

اقسِم $(A) (x + 2)$ على $1$ .

$x + 5 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x + 5 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.7.3

انقُل $2$ إلى يسار $A$ .

$x + 5 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x + 5 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.7.4.2

اقسِم $(B) (x - 4)$ على $1$ .

$x + 5 = A x + 2 A + (B) (x - 4)$

خطوة 2.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$x + 5 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 4$

خطوة 2.7.6

انقُل $- 4$ إلى يسار $B$ .

$x + 5 = A x + 2 A + B x - 4 B$

خطوة 2.8

انقُل $2 A$ .

$x + 5 = A x + B x + 2 A - 4 B$

خطوة 3

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A + B$

خطوة 3.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$5 = 2 A - 4 B$

خطوة 3.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

خطوة 4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 2 A - 4 B$

خطوة 4.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

خطوة 4.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1 - B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $5 = 2 A - 4 B$ بـ $1 - B$ .

$5 = 2 (1 - B) - 4 B$

$A = 1 - B$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط $2 (1 - B) - 4 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 = 2 \cdot 1 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

خطوة 4.2.2.1.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$5 = 2 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

خطوة 4.2.2.1.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

خطوة 4.2.2.1.2

اطرح $4 B$ من $- 2 B$ .

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $B$ في $5 = 2 - 6 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 - 6 B = 5$ .

$2 - 6 B = 5$

$A = 1 - B$

خطوة 4.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- 6 B = 5 - 2$

$A = 1 - B$

خطوة 4.3.2.2

اطرح $2$ من $5$ .

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

خطوة 4.3.3

اقسِم كل حد في $- 6 B = 3$ على $- 6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اقسِم كل حد في $- 6 B = 3$ على $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

خطوة 4.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

خطوة 4.3.3.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

خطوة 4.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$B = \frac{3 (1)}{- 6}$

$A = 1 - B$

خطوة 4.3.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

خطوة 4.3.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

خطوة 4.3.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

خطوة 4.3.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

خطوة 4.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $- \frac{1}{2}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = 1 - B$ بـ $- \frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

خطوة 4.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

بسّط $1 - (- \frac{1}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1

اضرب $- (- \frac{1}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

خطوة 4.4.2.1.1.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

خطوة 4.4.2.1.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

خطوة 4.4.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A = \frac{2 + 1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

خطوة 4.4.2.1.4

أضف $2$ و $1$ .

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

خطوة 4.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

خطوة 5

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $2 x + \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$2 x + \frac{\frac{3}{2}}{x - 4} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$