الجبر الخطي الأمثلة

$x + 2 y - z = 4$ , $2 x + y + z = - 2$ , $x + 2 y + z = 2$

خطوة 1

أوجِد $A X = B$ من سلسلة المعادلات.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد معكوس مصفوفة المعامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 2.1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 2.1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

خطوة 2.1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

خطوة 2.1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 2.1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 2.1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.1.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.1.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$1 (1 - 2 \cdot 1) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.1.2.2.1.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$1 (1 - 2) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.1.2.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$1 \cdot - 1 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 - 2 (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.1.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$1 \cdot - 1 - 2 (2 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.1.3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 \cdot - 1 - 2 (2 - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.1.3.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$1 \cdot - 1 - 2 \cdot 1 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 - 2 \cdot 1 - 1 (2 \cdot 2 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.1.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$1 \cdot - 1 - 2 \cdot 1 - 1 (4 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.1.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 \cdot - 1 - 2 \cdot 1 - 1 (4 - 1)$

خطوة 2.1.4.2.2

اطرح $1$ من $4$ .

$1 \cdot - 1 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3$

خطوة 2.1.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3$

خطوة 2.1.5.1.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 1 - 2 - 1 \cdot 3$

خطوة 2.1.5.1.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 1 - 2 - 3$

خطوة 2.1.5.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$- 3 - 3$

خطوة 2.1.5.3

اطرح $3$ من $- 3$ .

$- 6$

خطوة 2.2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 2.3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.4

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 1 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.4.1.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 2 - 2 & 1 + 1 & 0 - 1 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 2 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 2 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.4.3.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 2 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.4.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

خطوة 2.4.4.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

خطوة 2.4.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & \frac{2}{3} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} + 0 & 0 + \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

خطوة 2.4.5.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

خطوة 2.4.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 2 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 - \frac{1}{2} & 0 + 0 & 0 + \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

خطوة 2.4.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

خطوة 2.4.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & \frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{6}) & 0 - 2 (- \frac{1}{3}) & \frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

خطوة 2.4.7.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

خطوة 2.5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

خطوة 3

اضرب من اليسار كلا طرفي معادلة المصفوفة في المصفوفة المعكوسة.

$([\begin{array}{c} \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array}]$

خطوة 4

أي مصفوفة مضروبة في معكوسها تساوي $1$ طوال الوقت. $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array}]$

خطوة 5

اضرب $[\begin{array}{c} \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

خطوة 5.2

اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} \cdot 4 + \frac{2}{3} \cdot - 2 - \frac{1}{2} \cdot 2 \\ \frac{1}{6} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot - 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot 4 + 0 \cdot - 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 5.3

بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} \\ \frac{7}{3} \\ - 1 \end{array}]$

خطوة 6

بسّط الطرفين الأيسر والأيمن.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{5}{3} \\ \frac{7}{3} \\ - 1 \end{array}]$

خطوة 7

أوجِد الحل.

$x = - \frac{5}{3}$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$