الجبر الخطي الأمثلة

$3 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = - 1$ $- x_{1} - x_{2} + 6 x_{3} = 29$ $5 x_{1} - 3 x_{2} - 4 x_{3} = - 25$

خطوة 1

اكتب السلسلة في صورة مصفوفة.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 6 & 29 \\ 5 & - 3 & - 4 & - 25 \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل عنصر من $R_{1}$ في $\frac{1}{3}$ لجعل الإدخال في $1, 1$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اضرب كل عنصر من $R_{1}$ في $\frac{1}{3}$ لجعل الإدخال في $1, 1$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{- 1}{3} \\ - 1 & - 1 & 6 & 29 \\ 5 & - 3 & - 4 & - 25 \end{array}]$

خطوة 2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ - 1 & - 1 & 6 & 29 \\ 5 & - 3 & - 4 & - 25 \end{array}]$

خطوة 2.2

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 - \frac{2}{3} & 6 + \frac{1}{3} & 29 - \frac{1}{3} \\ 5 & - 3 & - 4 & - 25 \end{array}]$

خطوة 2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{19}{3} & \frac{86}{3} \\ 5 & - 3 & - 4 & - 25 \end{array}]$

خطوة 2.3

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{19}{3} & \frac{86}{3} \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 3 - 5 (- \frac{2}{3}) & - 4 - 5 (\frac{1}{3}) & - 25 - 5 (- \frac{1}{3}) \end{array}]$

خطوة 2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{19}{3} & \frac{86}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} & - \frac{17}{3} & - \frac{70}{3} \end{array}]$

خطوة 2.4

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $- \frac{3}{5}$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $- \frac{3}{5}$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} (- \frac{5}{3}) & - \frac{3}{5} \cdot \frac{19}{3} & - \frac{3}{5} \cdot \frac{86}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} & - \frac{17}{3} & - \frac{70}{3} \end{array}]$

خطوة 2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{19}{5} & - \frac{86}{5} \\ 0 & \frac{1}{3} & - \frac{17}{3} & - \frac{70}{3} \end{array}]$

خطوة 2.5

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ لجعل الإدخال في $3, 2$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ لجعل الإدخال في $3, 2$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{19}{5} & - \frac{86}{5} \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{17}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{19}{5}) & - \frac{70}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{86}{5}) \end{array}]$

خطوة 2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{19}{5} & - \frac{86}{5} \\ 0 & 0 & - \frac{22}{5} & - \frac{88}{5} \end{array}]$

خطوة 2.6

اضرب كل عنصر من $R_{3}$ في $- \frac{5}{22}$ لجعل الإدخال في $3, 3$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب كل عنصر من $R_{3}$ في $- \frac{5}{22}$ لجعل الإدخال في $3, 3$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{19}{5} & - \frac{86}{5} \\ - \frac{5}{22} \cdot 0 & - \frac{5}{22} \cdot 0 & - \frac{5}{22} (- \frac{22}{5}) & - \frac{5}{22} (- \frac{88}{5}) \end{array}]$

خطوة 2.6.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{19}{5} & - \frac{86}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 2.7

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} + \frac{19}{5} R_{3}$ لجعل الإدخال في $2, 3$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} + \frac{19}{5} R_{3}$ لجعل الإدخال في $2, 3$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 + \frac{19}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{19}{5} \cdot 0 & - \frac{19}{5} + \frac{19}{5} \cdot 1 & - \frac{86}{5} + \frac{19}{5} \cdot 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 2.7.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 2.8

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{3}$ لجعل الإدخال في $1, 3$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{3}$ لجعل الإدخال في $1, 3$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 4 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 2.8.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 2.9

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 2.9.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحل النهائي لنظام المعادلات.

$x_{1} = - 3$

$x_{2} = - 2$

$x_{3} = 4$

خطوة 4

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(- 3, - 2, 4)$