حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{2 x + 2 y} = 6 x$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 x + 2 y}$ في صورة ${(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 6 x$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (6 x)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 2 x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x + 2 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 2 y$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

خطوة 3.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

خطوة 3.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

خطوة 3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(2 x + 2 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 2 y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

خطوة 3.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 2 y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

خطوة 3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(2 x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

خطوة 3.6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(2 x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

خطوة 3.6.3

انقُل ${(2 x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

خطوة 3.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

خطوة 3.10

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [2 y])$

خطوة 3.11

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.12

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 2 y')$

خطوة 3.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 2 y')$ .

$(2 + 2 y') \frac{1}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.13.2

اضرب $2 + 2 y'$ في $\frac{1}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 + 2 y'}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.13.3

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 y'}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.13.4

أخرِج العامل $2$ من $2 y'$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (y')}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.13.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (1) + 2 (y')$ .

$\frac{2 (1 + y')}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.13.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (1 + y')}{2 ({(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 3.13.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (1 + y')}{2 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.13.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + y'}{{(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

خطوة 4.3

اضرب $6$ في $1$ .

$6$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{1 + y'}{{(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = 6$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كلا الطرفين في ${(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{{(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 6 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط $\frac{1 + y'}{{(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + y'}{{(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 6 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + y' = 6 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.1.2

أعِد ترتيب $1$ و $y'$ .

$y' + 1 = 6 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y' = 6 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 {(2 x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} - 1$