حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{x^{2}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0) - \sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0) - \sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0 - \sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0 - 0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.1.5

اضرب $0$ في $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x) \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.5

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.6

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.8

أضف $1$ و $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.9

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.10

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.12

أضف $1$ و $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 1 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.5.2.2

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{2 x}$

خطوة 2

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{x}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.3

انقُل الأُس $2$ من $\sin^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.5

انقُل الأُس $2$ من $\cos^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.6

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.7.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.7.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + \sin^{2} (0) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.7.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + \sin^{2} (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.8.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \sin^{2} (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.8.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 0^{2} - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.8.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 0 - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.8.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 0 - 1^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.8.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.8.1.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 0 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.8.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.8.3

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (x) + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.4.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.5.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.5.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.5.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.5.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - - 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.5.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1.1

أعِد ترتيب عوامل $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.6.1.2

أضف $2 \cos (x) \sin (x)$ و $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 4 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)}{1}$

خطوة 3.4

اقسِم $4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$ على $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 4 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

خطوة 4.2

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

خطوة 4.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

خطوة 4.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

خطوة 4.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

خطوة 4.6

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

خطوة 5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

خطوة 5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

خطوة 5.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 1 \cdot \sin (0) - \sin (0))$

خطوة 6.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot \sin (0) - \sin (0))$

خطوة 6.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0 - \sin (0))$

خطوة 6.1.4

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \sin (0))$

خطوة 6.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - 0)$

خطوة 6.1.6

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 0)$

خطوة 6.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

خطوة 6.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$0$