حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} e^{3 x} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = e^{3 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3} \cdot 2$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (x) d x)$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} \int e^{3 x} (x) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

خطوة 6.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

خطوة 6.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

خطوة 8

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 8.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

خطوة 9

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

خطوة 11.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

خطوة 12

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد كتابة $\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ بالصيغة $\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

خطوة 13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.2

اجمع $\frac{x^{2}}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.4

اجمع $\frac{x}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{9}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) + C$

خطوة 13.2.6

لكتابة $- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

خطوة 13.2.7

اجمع $- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 13.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 13.2.9

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 3 (\frac{2}{3}) (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 13.2.10

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 13.2.11

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 6}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 13.2.12

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.12.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 13.2.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.12.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 13.2.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 13.2.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 13.2.12.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9})}{3} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x})) + C$

خطوة 16

أعِد كتابة $\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x})) + C$ بالصيغة $\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x}}{9}) + C$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

لكتابة $x^{2} e^{3 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + x^{2} e^{3 x} \cdot \frac{9}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 17.2

اجمع $x^{2} e^{3 x}$ و $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{x^{2} e^{3 x} \cdot 9}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 17.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{x^{2} e^{3 x} \cdot 9 + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 17.4

انقُل $9$ إلى يسار $x^{2} e^{3 x}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{9 \cdot (x^{2} e^{3 x}) + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 17.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 17.6

لكتابة $- \frac{2 x e^{3 x}}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 17.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $9$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.7.1

اضرب $\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 17.7.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{9} + \frac{9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 17.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 x e^{3 x} \cdot 3 + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9} + C$

خطوة 17.9

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9} + C$

خطوة 17.10

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}$ .

$\frac{- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{3 \cdot 9} + C$

خطوة 17.11

اضرب $3$ في $9$ .

$\frac{- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{27} + C$

خطوة 18

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{27} (- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}) + C$