حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}}{x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} + lim_{x \to 1} 2 x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الأُس $4$ من $x^{4}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} + lim_{x \to 1} 2 x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{1^{4} + 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{1^{4} + 2 \cdot 1^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{1^{4} + 2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.8.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1 + 2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.8.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1 + 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.8.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1 + 2 - 3 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.8.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1 + 2 - 3 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.8.1.5

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{1 + 2 - 3}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.8.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.2.8.3

اطرح $3$ من $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} x^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} x^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{0}{1^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{0}{1^{3} - 1^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{0}{1 - 1^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.5.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

خطوة 1.1.3.5.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.5.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}}{x^{3} - x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $3$ في $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 3 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.5.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

خطوة 1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

خطوة 1.3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - (2 x)}$

خطوة 1.3.8.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 2 x}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 4 x^{3} + lim_{x \to 1} 6 x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} 6 x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

خطوة 2.4

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} 6 x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

خطوة 2.5

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

خطوة 2.6

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

خطوة 2.7

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

خطوة 2.8

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x}$

خطوة 2.9

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x}$

خطوة 2.10

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x}$

خطوة 2.11

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{4 \cdot 1^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{4 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{4 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{4 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{4 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{4 \cdot 1 + 6 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{4 + 6 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{4 + 6 \cdot 1 - 6 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.4

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{4 + 6 - 6 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.5

اضرب $- 6$ في $1$ .

$\frac{4 + 6 - 6}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.6

أضف $4$ و $6$ .

$\frac{10 - 6}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.7

اطرح $6$ من $10$ .

$\frac{4}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{4}{3 \cdot 1 - 2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.2

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{4}{3 - 2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{4}{3 - 2}$

خطوة 4.2.4

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{4}{1}$

خطوة 4.3

اقسِم $4$ على $1$ .

$4$