حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$

خطوة 1

أعِد كتابة $\tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$ بالصيغة $\frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 2

عيّن الحد في صورة حد أيسر الجانب.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 3

احسِب قيمة الحد أيسر الجانب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 3.1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $θ$ من $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 3.1.1.2.1.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $θ$ من $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 3.1.1.2.1.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 3.1.1.2.2

احسِب قيمة حد $θ$ بالتعويض عن $θ$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 3.1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.2.3.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 3.1.1.2.3.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 3.1.1.2.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 3.1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

خطوة 3.1.1.3.2

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ يقترب من $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 3.1.1.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 3.1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 3.1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 3.1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 3.1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 3.1.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $θ$ هو $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 3.1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $- \sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 3.1.3.4.2

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 3.1.3.5

اطرح $\cos (θ)$ من $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 3.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = θ^{- 2}$ و $g (θ) = \tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

خطوة 3.1.3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

خطوة 3.1.3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

خطوة 3.1.3.7

مشتق $\tan (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

خطوة 3.1.3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.8.1

أعِد ترتيب عوامل $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

خطوة 3.1.3.8.2

أعِد كتابة $\sec (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

خطوة 3.1.3.8.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

خطوة 3.1.3.8.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

خطوة 3.1.3.8.5

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

خطوة 3.1.3.8.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

خطوة 3.1.3.8.7

أعِد كتابة $\tan (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

خطوة 3.1.3.8.8

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

خطوة 3.1.3.8.9

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 3.1.3.8.10

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.8.10.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ إلى بسط الكسر.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 3.1.3.8.10.2

أخرِج العامل $\cos^{2} (θ)$ من $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 3.1.3.8.10.3

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 3.1.3.8.10.4

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 3.1.3.8.11

اجمع $- 2$ و $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 3.1.3.8.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 3.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

خطوة 3.1.5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

خطوة 3.1.5.2

اضرب $\cos (θ)$ في $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

خطوة 3.1.5.3

اجمع $\cos (θ)$ و $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

خطوة 3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

خطوة 3.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin^{3} (θ)$

خطوة 3.2.2

انقُل الأُس $3$ من $\sin^{3} (θ)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ))}^{3}$

خطوة 3.2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $θ$ بالتعويض عن $θ$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

خطوة 3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

خطوة 3.4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 3.4.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 4

عيّن الحد في صورة حد أيمن الجانب.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 5

احسِب قيمة الحد أيمن الجانب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 5.1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $θ$ من $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 5.1.1.2.1.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $θ$ من $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 5.1.1.2.1.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 5.1.1.2.2

احسِب قيمة حد $θ$ بالتعويض عن $θ$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 5.1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.3.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 5.1.1.2.3.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 5.1.1.2.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

خطوة 5.1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

خطوة 5.1.1.3.2

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ يقترب من $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.1.1.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.1.2

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 5.1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 5.1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 5.1.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $θ$ هو $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 5.1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $- \sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 5.1.3.4.2

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 5.1.3.5

اطرح $\cos (θ)$ من $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

خطوة 5.1.3.6

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

خطوة 5.1.3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

خطوة 5.1.3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

خطوة 5.1.3.7

مشتق $\tan (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

خطوة 5.1.3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.8.1

أعِد ترتيب عوامل $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

خطوة 5.1.3.8.2

أعِد كتابة $\sec (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

خطوة 5.1.3.8.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

خطوة 5.1.3.8.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

خطوة 5.1.3.8.5

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

خطوة 5.1.3.8.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

خطوة 5.1.3.8.7

أعِد كتابة $\tan (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

خطوة 5.1.3.8.8

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

خطوة 5.1.3.8.9

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 5.1.3.8.10

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.8.10.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ إلى بسط الكسر.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 5.1.3.8.10.2

أخرِج العامل $\cos^{2} (θ)$ من $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 5.1.3.8.10.3

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 5.1.3.8.10.4

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 5.1.3.8.11

اجمع $- 2$ و $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 5.1.3.8.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

خطوة 5.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

خطوة 5.1.5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

خطوة 5.1.5.2

اضرب $\cos (θ)$ في $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

خطوة 5.1.5.3

اجمع $\cos (θ)$ و $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

خطوة 5.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

خطوة 5.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

خطوة 5.2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin^{3} (θ)$

خطوة 5.2.2

انقُل الأُس $3$ من $\sin^{3} (θ)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ))}^{3}$

خطوة 5.2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)$

خطوة 5.3

احسِب قيمة حد $θ$ بالتعويض عن $θ$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

خطوة 5.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

خطوة 5.4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 5.4.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 6

بما أن الحد أيسر الجانب يساوي الحد أيمن الجانب، إذن الحد يساوي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$