حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x) + \cos (y) = \sin (x) \cos (y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\sin (x) + \cos (y)) = \frac{d}{d x} (\sin (x) \cos (y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) + \cos (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

خطوة 2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\cos (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\cos (x) - \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\cos (x) - \sin (y) y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- \sin (y) y' + \cos (x)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (y)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 3.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x)$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- \sin (y) y' + \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- \sin (y) y' + \cos (x)$ .

$- y' \sin (y) + \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$ .

$- y' \sin (y) + \cos (x) = - y' \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y)$

خطوة 5.3

أضف $y' \sin (x) \sin (y)$ إلى كلا المتعادلين.

$- y' \sin (y) + \cos (x) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y)$

خطوة 5.4

اطرح $\cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - \cos (x)$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $y' \sin (y)$ من $- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $y' \sin (y)$ من $- y' \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - \cos (x)$

خطوة 5.5.2

أخرِج العامل $y' \sin (y)$ من $y' \sin (x) \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x) = \cos (x) \cos (y) - \cos (x)$

خطوة 5.5.3

أخرِج العامل $y' \sin (y)$ من $y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x)$ .

$y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - \cos (x)$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - \cos (x)$ على $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - \cos (x)$ على $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ .

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

خطوة 5.6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

خطوة 5.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- 1 + \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

خطوة 5.6.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.1

افصِل الكسور.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

خطوة 5.6.3.1.2

أعِد كتابة $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ في صورة حاصل ضرب.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

خطوة 5.6.3.1.3

اكتب $\cos (x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

خطوة 5.6.3.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.4.1

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

خطوة 5.6.3.1.4.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (y)}$ إلى $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

خطوة 5.6.3.1.5

اضرب $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.5.1

اجمع $\cos (x)$ و $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \csc (y) + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

خطوة 5.6.3.1.5.2

اجمع $\frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ و $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

خطوة 5.6.3.1.6

افصِل الكسور.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

خطوة 5.6.3.1.7

أعِد كتابة $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ في صورة حاصل ضرب.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

خطوة 5.6.3.1.8

اكتب $\cos (x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

خطوة 5.6.3.1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.9.1

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

خطوة 5.6.3.1.9.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (y)}$ إلى $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

خطوة 5.6.3.1.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{1}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

خطوة 5.6.3.1.11

اضرب $- \frac{1}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.11.1

اجمع $\cos (x)$ و $\frac{1}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{- 1 + \sin (x)} \csc (y)$

خطوة 5.6.3.1.11.2

اجمع $\csc (y)$ و $\frac{\cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

خطوة 5.6.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) - \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

خطوة 5.6.3.2.2

أخرِج العامل $\cos (x) \csc (y)$ من $\cos (x) \cos (y) \csc (y) - \csc (y) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.2.2.1

أخرِج العامل $\cos (x) \csc (y)$ من $\cos (x) \cos (y) \csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) - \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

خطوة 5.6.3.2.2.2

أخرِج العامل $\cos (x) \csc (y)$ من $- \csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 1)}{- 1 + \sin (x)}$

خطوة 5.6.3.2.2.3

أخرِج العامل $\cos (x) \csc (y)$ من $\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 1)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 1)}{- 1 + \sin (x)}$

خطوة 5.6.3.2.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 1)}{- 1 (1) + \sin (x)}$

خطوة 5.6.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $\sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 1)}{- 1 (1) - 1 (- \sin (x))}$

خطوة 5.6.3.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 1)}{- 1 (1 - \sin (x))}$

خطوة 5.6.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 1)}{1 - \sin (x)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 1)}{1 - \sin (x)}$