حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{x^{2}} + 2 x - 1$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x^{3} - \frac{3}{x^{2}} + 2 x - 1 d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{3} d x + \int - \frac{3}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - \frac{3}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

خطوة 6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (3 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

خطوة 7.2

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

خطوة 7.3

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int x^{- 2} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

خطوة 9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x d x + \int - 1 d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

خطوة 12.2

بسّط.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{x} + x^{2} - x + C$

خطوة 12.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{x} + x^{2} - x + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x^{3} - \frac{3}{x^{2}} + 2 x - 1$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{x} + x^{2} - x + C$