حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{5} + 5 x^{2} + 12 x}{3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 7 x^{5} + 5 x^{2} + 12 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 7 x^{5} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الحد $7$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{7 lim_{x \to 0} x^{5} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الأُس $5$ من $x^{5}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{7 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{7 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} + 5 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.5

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{7 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.6

انقُل الحد $12$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{7 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{7 \cdot 0^{5} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.7.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{7 \cdot 0^{5} + 5 \cdot 0^{2} + 12 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.7.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{7 \cdot 0^{5} + 5 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.8.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{7 \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.8.1.2

اضرب $7$ في $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.8.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0 + 5 \cdot 0 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.8.1.4

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{0 + 0 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.8.1.5

اضرب $12$ في $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.8.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.2.8.3

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + lim_{x \to 0} 4 x}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{5} + lim_{x \to 0} 4 x}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل الأُس $5$ من $x^{5}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} + lim_{x \to 0} 4 x}$

خطوة 1.1.3.4

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} + 4 lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{5} + 4 lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{5} + 4 \cdot 0}$

خطوة 1.1.3.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

خطوة 1.1.3.6.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 4 \cdot 0}$

خطوة 1.1.3.6.1.3

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 1.1.3.6.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.6.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.7

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{5} + 5 x^{2} + 12 x}{3 x^{5} + 4 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{5} + 5 x^{2} + 12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{5} + 5 x^{2} + 12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x^{5} + 5 x^{2} + 12 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

خطوة 1.3.3.3

اضرب $5$ في $7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $2$ في $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

خطوة 1.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

خطوة 1.3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

خطوة 1.3.5.3

اضرب $12$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

خطوة 1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{5} + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x]}$

خطوة 1.3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x]}$

خطوة 1.3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x]}$

خطوة 1.3.7.3

اضرب $5$ في $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{15 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x]}$

خطوة 1.3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{15 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{15 x^{4} + 4 \cdot 1}$

خطوة 1.3.8.3

اضرب $4$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{15 x^{4} + 4}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 35 x^{4} + 10 x + 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + 4}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 35 x^{4} + lim_{x \to 0} 10 x + lim_{x \to 0} 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + 4}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $35$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{35 lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 10 x + lim_{x \to 0} 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + 4}$

خطوة 2.4

انقُل الأُس $4$ من $x^{4}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 10 x + lim_{x \to 0} 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + 4}$

خطوة 2.5

انقُل الحد $10$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + 4}$

خطوة 2.6

احسِب قيمة حد $12$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + 4}$

خطوة 2.7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + lim_{x \to 0} 4}$

خطوة 2.8

انقُل الحد $15$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + 12}{15 lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 4}$

خطوة 2.9

انقُل الأُس $4$ من $x^{4}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + 12}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 4}$

خطوة 2.10

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + 12}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 4}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{35 \cdot 0^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + 12}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 4}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{35 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0 + 12}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 4}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{35 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0 + 12}{15 \cdot 0^{4} + 4}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{35 \cdot 0 + 10 \cdot 0 + 12}{15 \cdot 0^{4} + 4}$

خطوة 4.1.2

اضرب $35$ في $0$ .

$\frac{0 + 10 \cdot 0 + 12}{15 \cdot 0^{4} + 4}$

خطوة 4.1.3

اضرب $10$ في $0$ .

$\frac{0 + 0 + 12}{15 \cdot 0^{4} + 4}$

خطوة 4.1.4

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0 + 12}{15 \cdot 0^{4} + 4}$

خطوة 4.1.5

أضف $0$ و $12$ .

$\frac{12}{15 \cdot 0^{4} + 4}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{12}{15 \cdot 0 + 4}$

خطوة 4.2.2

اضرب $15$ في $0$ .

$\frac{12}{0 + 4}$

خطوة 4.2.3

أضف $0$ و $4$ .

$\frac{12}{4}$

خطوة 4.3

اقسِم $12$ على $4$ .

$3$