حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

خطوة 1.1.2.1.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

خطوة 1.1.2.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

خطوة 1.1.2.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

خطوة 1.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $\frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

خطوة 1.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{4})}$

خطوة 1.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})}$

خطوة 1.1.3.5.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

خطوة 1.1.3.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 1.1.3.5.3

اطرح $\sqrt{2}$ من $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{0}{2}}$

خطوة 1.1.3.5.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.5.5

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

خطوة 1.3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

خطوة 1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

خطوة 1.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

خطوة 1.3.6

اضرب $- 2$ في $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

خطوة 1.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (x) - \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

خطوة 1.3.8

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

خطوة 1.3.9

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 1.3.9.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) - \cos (x)}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل الحد $- 2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 x)}{- \sin (x) - \cos (x)}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\frac{π}{4}$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

خطوة 2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- 2 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

خطوة 2.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\frac{π}{4}$ .

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

خطوة 2.6

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

خطوة 2.7

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $\frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{4}$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{4}$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{4}$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

خطوة 4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

خطوة 4.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

خطوة 4.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 2 \frac{1}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$ .

$- 2 \frac{1}{- (\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}))}$

خطوة 4.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4}))}$

خطوة 4.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})}$

خطوة 4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 2 \frac{1}{- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 4.2.5

أعِد كتابة $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

أضف $\sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 4.2.5.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.2.1

اختزِل العبارة $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 4.2.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{1}}$

خطوة 4.2.5.2.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{2}}$

خطوة 4.3

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$- 2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{2}}$

خطوة 4.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{2}})$

خطوة 4.4

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

خطوة 4.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

خطوة 4.5.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

خطوة 4.5.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

خطوة 4.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

خطوة 4.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

خطوة 4.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 4.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 4.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 4.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 4.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

خطوة 4.5.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 4.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.6.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \sqrt{2}$

خطوة 4.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \sqrt{2}$

خطوة 4.8

اضرب $\sqrt{2}$ في $1$ .

$\sqrt{2}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\sqrt{2}$

الصيغة العشرية:

$1.41421356 \dots$