حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 1

قسّم التكامل إلى $0$ واكتبه في صورة مجموع نهايات.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1 + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 3

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x)]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (x)]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4

احسِب قيمة $\arctan (x)$ في $0$ وفي $t$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

خطوة 7

احسِب قيمة $\arctan (x)$ في $t$ وفي $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

خطوة 8

احسِب قيم النهايات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

خطوة 8.2

احسِب قيمة حد $\arctan (0)$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $- \infty$ .

$\arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

خطوة 8.3

النهاية عند اقتراب $t$ من $- \infty$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

خطوة 8.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

خطوة 8.5

النهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

خطوة 8.6

احسِب قيمة حد $\arctan (0)$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

خطوة 8.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$0 + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

خطوة 8.7.1.2

اضرب $\frac{π}{2}$ في $1$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

خطوة 8.7.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - 0$

خطوة 8.7.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} + 0$

خطوة 8.7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π + π}{2}$

خطوة 8.7.3

أضف $π$ و $π$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 8.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 8.7.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$π$

الصيغة العشرية:

$3.14159265 \dots$