حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x) + 2 \cos (2 y) = 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\sin (x) + 2 \cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) + 2 \cos (2 y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 y)]$

خطوة 2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (2 y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$ .

$\cos (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 y$ .

$\cos (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y])$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\cos (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 y$ .

$\cos (x) + 2 (- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y])$

خطوة 2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x) + 2 (- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\cos (x) + 2 (- \sin (2 y) (2 y'))$

خطوة 2.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\cos (x) + 2 (- 2 \sin (2 y) y')$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\cos (x) - 4 \sin (2 y) y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 \sin (2 y) y' + \cos (x)$

خطوة 3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 4 \sin (2 y) y' + \cos (x) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- 4 \sin (2 y) y' + \cos (x)$ .

$- 4 y' \sin (2 y) + \cos (x) = 0$

خطوة 5.2

اطرح $\cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$- 4 y' \sin (2 y) = - \cos (x)$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- 4 y' \sin (2 y) = - \cos (x)$ على $- 4 \sin (2 y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- 4 y' \sin (2 y) = - \cos (x)$ على $- 4 \sin (2 y)$ .

$\frac{- 4 y' \sin (2 y)}{- 4 \sin (2 y)} = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 y' \sin (2 y)}{- 4 \sin (2 y)} = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' \sin (2 y)}{\sin (2 y)} = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (2 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \sin (2 y)}{\sin (2 y)} = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

افصِل الكسور.

$y' = \frac{- 1}{- 4} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (2 y)}$

خطوة 5.3.3.2

أعِد كتابة $\frac{\cos (x)}{\sin (2 y)}$ في صورة حاصل ضرب.

$y' = \frac{- 1}{- 4} (\cos (x) \frac{1}{\sin (2 y)})$

خطوة 5.3.3.3

اكتب $\cos (x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- 4} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 y)})$

خطوة 5.3.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- 4} (\cos (x) \frac{1}{\sin (2 y)})$

خطوة 5.3.3.4.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (2 y)}$ إلى $\csc (2 y)$ .

$y' = \frac{- 1}{- 4} (\cos (x) \csc (2 y))$

خطوة 5.3.3.5

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y' = \frac{1}{4} (\cos (x) \csc (2 y))$

خطوة 5.3.3.6

اضرب $\frac{1}{4} (\cos (x) \csc (2 y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.1

اجمع $\cos (x)$ و $\frac{1}{4}$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{4} \csc (2 y)$

خطوة 5.3.3.6.2

اجمع $\frac{\cos (x)}{4}$ و $\csc (2 y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (2 y)}{4}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \csc (2 y)}{4}$