حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \tan^{3} (x) \sec^{6} (x) d x$

خطوة 1

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $6$ في صورة $4$ زائد $2$

$\int \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة ${\sec (x)}^{4 + 2}$ بالصيغة $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int \tan^{3} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 1.4

أعِد كتابة ${\sec (x)}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$\int \tan^{3} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 2

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . إذن $d u = \sec^{2} (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \tan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{3} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

خطوة 4

وسّع $u^{3} {(1 + u^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${(1 + u^{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$\int u^{3} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u^{3} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

خطوة 4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 4.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 4.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 4.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 4.8

انقُل $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 4.9

أعِد ترتيب $u^{3}$ و $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 4.10

أعِد ترتيب $u^{2}$ و $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (1 \cdot u^{2}) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 4.11

أعِد ترتيب $u^{3}$ و $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + 1 \cdot u^{3} \cdot u^{2} + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 4.12

اضرب $1$ في $1$ .

$\int 1 u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 4.13

اضرب $u^{3}$ في $1$ .

$\int u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 4.14

اضرب $u^{3}$ في $1$ .

$\int u^{3} + u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 4.15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} + u^{3 + 2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 4.16

أضف $3$ و $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 4.17

اضرب $u^{3}$ في $1$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 4.18

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3 + 2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 4.19

أضف $3$ و $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 4.20

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3 + 2} u^{2} d u$

خطوة 4.21

أضف $3$ و $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

خطوة 4.22

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5 + 2} d u$

خطوة 4.23

أضف $5$ و $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{7} d u$

خطوة 4.24

أضف $u^{5}$ و $u^{5}$ .

$\int u^{3} + 2 u^{5} + u^{7} d u$

خطوة 4.25

أعِد ترتيب $2 u^{5}$ و $u^{7}$ .

$\int u^{3} + u^{7} + 2 u^{5} d u$

خطوة 4.26

انقُل $u^{3}$ .

$\int u^{7} + 2 u^{5} + u^{3} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{7} d u + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{7}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 10.2

بسّط.

$\frac{u^{8}}{8} + \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{8} (x)}{8} + \frac{\tan^{6} (x)}{3} + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{8} \tan^{8} (x) + \frac{1}{3} \tan^{6} (x) + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$