حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = \sec (\frac{1}{y})$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\sec (\frac{1}{y}))$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = \frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\sec (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{y}$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = y$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 3.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 3.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $y$ في $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 3.3.3.2

اطرح $\frac{d}{d x} [y]$ من $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 3.3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) (- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) (- \frac{y'}{y^{2}})$

خطوة 3.5

اجمع $\sec (\frac{1}{y})$ و $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$\tan (\frac{1}{y}) (- \frac{\sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}})$

خطوة 3.6

اجمع $\tan (\frac{1}{y})$ و $\frac{\sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = - \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ .

$- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

اقسِم $\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ على $1$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 5.2.2.2.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} = - 1$

خطوة 5.3

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} y^{2} = - y^{2}$

خطوة 5.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} y^{2} = - y^{2}$

خطوة 5.4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$ على $\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$ على $\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\tan (\frac{1}{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

خطوة 5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' \sec (\frac{1}{y})}{\sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec (\frac{1}{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \sec (\frac{1}{y})}{\sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

خطوة 5.5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

خطوة 5.5.3.2

افصِل الكسور.

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{1}{\tan (\frac{1}{y})})$

خطوة 5.5.3.3

أعِد كتابة $\tan (\frac{1}{y})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (\frac{1}{y})}{\cos (\frac{1}{y})}})$

خطوة 5.5.3.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (\frac{1}{y})}{\cos (\frac{1}{y})}$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{\cos (\frac{1}{y})}{\sin (\frac{1}{y})})$

خطوة 5.5.3.5

حوّل من $\frac{\cos (\frac{1}{y})}{\sin (\frac{1}{y})}$ إلى $\cot (\frac{1}{y})$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cot (\frac{1}{y}))$

خطوة 5.5.3.6

افصِل الكسور.

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (\frac{1}{y})} \cot (\frac{1}{y}))$

خطوة 5.5.3.7

أعِد كتابة $\sec (\frac{1}{y})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{1}{y})}} \cot (\frac{1}{y}))$

خطوة 5.5.3.8

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (\frac{1}{y})}$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} (1 \cos (\frac{1}{y})) \cot (\frac{1}{y}))$

خطوة 5.5.3.9

اضرب $\cos (\frac{1}{y})$ في $1$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y}))$

خطوة 5.5.3.10

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y' = - y^{2} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y})$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y^{2} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y})$