حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0^{+}} x^{x}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $x^{x}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{x})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{x})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln (x^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (x)}$

خطوة 2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}$

خطوة 3

أعِد كتابة $x \ln (x)$ بالصيغة $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}$

خطوة 4

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

خطوة 4.1.2

عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، تتناقص $\ln (x)$ بلا حدود.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

خطوة 4.1.3

بما أن البسط عدد ثابت والقاسم يقترب من $0$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من قيمة غير متناهية.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

خطوة 4.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

خطوة 4.2

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 4.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}$

خطوة 4.3.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 4.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}$

خطوة 4.5

اجمع $\frac{1}{x}$ و $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}$

خطوة 4.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}$

خطوة 4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}$

خطوة 4.6.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

خطوة 4.6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

خطوة 4.6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}$

خطوة 4.6.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - x}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} x}$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{0}$

خطوة 5.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1$