حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{x}$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x})$

خطوة 2

وسّع $\ln (x^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (y) = x \ln (x)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = x \ln (x)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $x \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x) \cdot 1$

خطوة 3.2.4.4

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x)$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = (1 + \ln (x)) x^{x}$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = 1 x^{x} + \ln (x) x^{x}$

خطوة 5.2

اضرب $x^{x}$ في $1$ .

$y' = x^{x} + \ln (x) x^{x}$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب العوامل في $x^{x} + \ln (x) x^{x}$ .

$y' = x^{x} + x^{x} \ln (x)$