حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{x + y} = y^{2} + 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + y}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x + y) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x + y$ .

$\frac{2 \cdot (x + y) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4.4.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4.4.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x^{2} + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4.6

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + 2 x y - x^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4.6.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x y$ .

$\frac{x \cdot x + x (2 y) - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4.6.3

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2} y'$ .

$\frac{x \cdot x + x (2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4.6.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (2 y)$ .

$\frac{x (x + 2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4.6.5

أخرِج العامل $x$ من $x (x + 2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 y y' + 0$

خطوة 3.3.2

أضف $2 y y'$ و $0$ .

$2 y y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x (x + 2 y - x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot x + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} + 2 x y + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} + 2 x y - x (x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.4.1

انقُل $x$ .

$x^{2} + 2 x y - (x \cdot x) y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} + 2 x y - x^{2} y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.5

انقُل $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x y - y' x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.6

انقُل $x^{2}$ .

$2 x y - y' x^{2} + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.7

أعِد ترتيب $2 x y$ و $- y' x^{2}$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط $2 y y' {(x + y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

أعِد الكتابة.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 0 + 0 + 2 y y' {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.3.1.2

أعِد كتابة ${(x + y)}^{2}$ بالصيغة $(x + y) (x + y)$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' ((x + y) (x + y))$

خطوة 5.3.1.3

وسّع $(x + y) (x + y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x (x + y) + y (x + y))$

خطوة 5.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y (x + y))$

خطوة 5.3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)$

خطوة 5.3.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)$

خطوة 5.3.1.4.1.2

اضرب $y$ في $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y^{2})$

خطوة 5.3.1.4.2

أضف $x y$ و $y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.4.2.1

أعِد ترتيب $y$ و $x$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + x y + y^{2})$

خطوة 5.3.1.4.2.2

أضف $x y$ و $x y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + 2 x y + y^{2})$

خطوة 5.3.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y y' (2 x y) + 2 y y' y^{2}$

خطوة 5.3.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.6.1

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.6.1.1

انقُل $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 (y \cdot y) y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

خطوة 5.3.1.6.1.2

اضرب $y$ في $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

خطوة 5.3.1.6.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.6.2.1

انقُل $y^{2}$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y) y'$

خطوة 5.3.1.6.2.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.6.2.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y^{1}) y'$

خطوة 5.3.1.6.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{2 + 1} y'$

خطوة 5.3.1.6.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{3} y'$

خطوة 5.3.1.7

اضرب $2$ في $2$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y'$

خطوة 5.3.2

بما أن $y'$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' = - y' x^{2} + 2 x y + x^{2}$

خطوة 5.3.3

أضف $y' x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2} = 2 x y + x^{2}$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $2 y y' x^{2}$ .

$y' (2 y x^{2}) + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

خطوة 5.3.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $4 y^{2} y' x$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

خطوة 5.3.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $2 y^{3} y'$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

خطوة 5.3.4.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' x^{2}$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

خطوة 5.3.4.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x)$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

خطوة 5.3.4.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3})$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

خطوة 5.3.4.7

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2})$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

خطوة 5.3.5

اقسِم كل حد في $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ على $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

اقسِم كل حد في $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ على $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2})}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

خطوة 5.3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.3.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

خطوة 5.3.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 x y + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

خطوة 5.3.5.3.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x y + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x y$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

خطوة 5.3.5.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x \cdot x}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

خطوة 5.3.5.3.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x (2 y) + x \cdot x$ .

$y' = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$