حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \cot^{2} (\cos (θ))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = θ^{2}$ و $g (θ) = \cot (\cos (θ))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cot (\cos (θ))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cot (\cos (θ))$ .

$2 \cot (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = \cot (θ)$ و $g (θ) = \cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos (θ)$ .

$2 \cot (\cos (θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

خطوة 2.2

مشتق $\cot (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\cos (θ)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (θ)$ .

$2 \cot (\cos (θ)) (- \csc^{2} (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

خطوة 3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \cot (\cos (θ)) (\csc^{2} (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

خطوة 4

مشتق $\cos (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $- \sin (θ)$ .

$- 2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) (- \sin (θ))$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد ترتيب عوامل $2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ)$ .

$2 \csc^{2} (\cos (θ)) \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\csc (\cos (θ))$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$2 {(\frac{1}{\sin (\cos (θ))})}^{2} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

خطوة 6.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

خطوة 6.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 \frac{1}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

خطوة 6.5

اجمع $2$ و $\frac{1}{\sin^{2} (\cos (θ))}$ .

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

خطوة 6.6

أعِد كتابة $\cot (\cos (θ))$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cdot \frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))} \sin (θ)$

خطوة 6.7

اجمع.

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{2} (\cos (θ)) \sin (\cos (θ))} \sin (θ)$

خطوة 6.8

اضرب $\sin^{2} (\cos (θ))$ في $\sin (\cos (θ))$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

اضرب $\sin^{2} (\cos (θ))$ في $\sin (\cos (θ))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1.1

ارفع $\sin (\cos (θ))$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{2} (\cos (θ)) \sin^{1} (\cos (θ))} \sin (θ)$

خطوة 6.8.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{{\sin (\cos (θ))}^{2 + 1}} \sin (θ)$

خطوة 6.8.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{3} (\cos (θ))} \sin (θ)$

خطوة 6.9

اجمع $\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{3} (\cos (θ))}$ و $\sin (θ)$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ)) \sin (θ)}{\sin^{3} (\cos (θ))}$

خطوة 6.10

أخرِج العامل $\sin (\cos (θ))$ من $\sin^{3} (\cos (θ))$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ)) \sin (θ)}{\sin (\cos (θ)) \sin^{2} (\cos (θ))}$

خطوة 6.11

افصِل الكسور.

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cdot \frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))}$

خطوة 6.12

حوّل من $\frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))}$ إلى $\cot (\cos (θ))$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

خطوة 6.13

أخرِج العامل $\sin (\cos (θ))$ من $\sin^{2} (\cos (θ))$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin (\cos (θ)) \sin (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

خطوة 6.14

افصِل الكسور.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

خطوة 6.15

أعِد كتابة $\frac{\sin (θ)}{\sin (\cos (θ))}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

خطوة 6.16

اكتب $\sin (θ)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

خطوة 6.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.17.1

اقسِم $\sin (θ)$ على $1$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

خطوة 6.17.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ إلى $\csc (\cos (θ))$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

خطوة 6.18

افصِل الكسور.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

خطوة 6.19

حوّل من $\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ إلى $\csc (\cos (θ))$ .

$\frac{2}{1} \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

خطوة 6.20

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

خطوة 6.21

اضرب $2 \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ)))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.21.1

ارفع $\csc (\cos (θ))$ إلى القوة $1$ .

$2 (\csc^{1} (\cos (θ)) \csc (\cos (θ))) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

خطوة 6.21.2

ارفع $\csc (\cos (θ))$ إلى القوة $1$ .

$2 (\csc^{1} (\cos (θ)) \csc^{1} (\cos (θ))) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

خطوة 6.21.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 {\csc (\cos (θ))}^{1 + 1} \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

خطوة 6.21.4

أضف $1$ و $1$ .

$2 \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$