حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{y} = y^{x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (y^{x})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة المعممة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ هو $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ حيث $f = x$ و $g = y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

خطوة 2.2.2

اضرب $y$ في $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة المعممة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ هو $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ حيث $f = y$ و $g = x$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y' (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + 1 (y^{x} \ln (y))$

خطوة 3.4

اضرب $y^{x}$ في $1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + y^{x} \ln (y)$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$

خطوة 3.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$ .

$x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب العوامل في $x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y)$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب العوامل في $- y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب العوامل في $y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y)$ .

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

خطوة 5.5

اطرح $x y' y^{x - 1}$ من كلا المتعادلين.

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1}$

خطوة 5.6

أضف $\ln (y) y^{x}$ إلى كلا المتعادلين.

$y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

خطوة 5.7

أخرِج العامل $y'$ من $y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' \ln (x) x^{y}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

خطوة 5.7.2

أخرِج العامل $y'$ من $- x y' y^{x - 1}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

خطوة 5.7.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1})$ .

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

خطوة 5.8

اقسِم كل حد في $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ على $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اقسِم كل حد في $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ على $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

خطوة 5.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

خطوة 5.8.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

خطوة 5.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

خطوة 5.8.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y x^{y - 1}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

خطوة 5.8.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $\ln (y) y^{x}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

خطوة 5.8.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

خطوة 5.8.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.5.1

أعِد كتابة $- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ بالصيغة $- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

خطوة 5.8.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$