حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 5 - x^{2}$ , $[- 3, 2]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$5 - x^{2} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $5 - x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} = - 5$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 5$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 5$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اقسِم $- 5$ على $- 1$ .

$x^{2} = 5$

خطوة 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

خطوة 1.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{5}$

خطوة 1.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{5}$

خطوة 1.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\sqrt{5}$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $5$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 5$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 d x - \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - x^{2} + 5 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 3$ و $- \sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 - (- x^{2} + 5) d x$

خطوة 4.2

اطرح $- x^{2} + 5$ من $0$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - (- x^{2} + 5) d x$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 1 \cdot 5 d x$

خطوة 4.4

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 5 d x$

خطوة 4.5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} d x + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

خطوة 4.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

خطوة 4.7

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

خطوة 4.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اجمع $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ و $- 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

خطوة 4.8.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x$ في $- \sqrt{5}$ وفي $- 3$ .

$(\frac{1}{3} {(- \sqrt{5})}^{3} - 5 (- \sqrt{5})) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} {(- (\sqrt{5}))}^{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $- (\sqrt{5})$ .

$\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} (- {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{5^{3}}$ .

$\frac{1}{3} (- \sqrt{5^{3}}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.5

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} (- \sqrt{125}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{125}$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.7

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.8

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 27$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 27}{3} - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $- 27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.2.10.1

أخرِج العامل $3$ من $- 27$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.2.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 9}{1} - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.10.2.4

اقسِم $- 9$ على $1$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 - 5 \cdot - 3)$

خطوة 4.8.2.2.11

اضرب $- 5$ في $- 3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 + 15)$

خطوة 4.8.2.2.12

أضف $- 9$ و $15$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 6$

خطوة 4.8.2.2.13

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

خطوة 4.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.1

أعِد كتابة $125$ بالصيغة $5^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.1.1

أخرِج العامل $25$ من $125$ .

$- \frac{\sqrt{25 (5)}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

خطوة 4.8.3.1.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

خطوة 4.8.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

خطوة 4.8.3.3

لكتابة $5 \sqrt{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3} - 6$

خطوة 4.8.3.4

اجمع $5 \sqrt{5}$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

خطوة 4.8.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

خطوة 4.8.3.6

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3} - 6$

خطوة 4.8.3.7

أضف $- 5 \sqrt{5}$ و $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6$

خطوة 5

$A r e a = \int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x - \int_{- \sqrt{5}}^{2} 0 d x$

خطوة 6

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- \sqrt{5}$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 - (0) d x$

خطوة 6.2

اطرح $0$ من $- x^{2} + 5$ .

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x$

خطوة 6.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

خطوة 6.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- \sqrt{5}}^{2} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

خطوة 6.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

خطوة 6.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

خطوة 6.7

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

خطوة 6.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $- \sqrt{5}$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

خطوة 6.8.1.2

احسِب قيمة $5 x$ في $2$ وفي $- \sqrt{5}$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

خطوة 6.8.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

خطوة 6.8.1.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{5}$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- (\sqrt{5}))}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

خطوة 6.8.1.3.3

طبّق قاعدة الضرب على $- (\sqrt{5})$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

خطوة 6.8.1.3.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

خطوة 6.8.1.3.5

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{5^{3}}$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{5^{3}}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

خطوة 6.8.1.3.6

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

خطوة 6.8.1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

خطوة 6.8.1.3.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

خطوة 6.8.1.3.9

اضرب $\frac{\sqrt{125}}{3}$ في $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

خطوة 6.8.1.3.10

اضرب $5$ في $2$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 - 5 (- \sqrt{5})$

خطوة 6.8.1.3.11

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

خطوة 6.8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1

أعِد كتابة $125$ بالصيغة $5^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1.1

أخرِج العامل $25$ من $125$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{25 (5)}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

خطوة 6.8.2.1.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

خطوة 6.8.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$- (\frac{8}{3} + \frac{5 \sqrt{5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

خطوة 6.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{8}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 10 + 5 \sqrt{5}$

خطوة 6.8.3.2

لكتابة $10$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

خطوة 6.8.3.3

اجمع $10$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

خطوة 6.8.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

خطوة 6.8.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.5.1

اضرب $10$ في $3$ .

$\frac{- 8 + 30}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

خطوة 6.8.3.5.2

أضف $- 8$ و $30$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

خطوة 6.8.3.6

لكتابة $5 \sqrt{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 6.8.3.7

اجمع $5 \sqrt{5}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

خطوة 6.8.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{22}{3} + \frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

خطوة 6.8.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

خطوة 6.8.3.10

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3}$

خطوة 6.8.3.11

أضف $- 5 \sqrt{5}$ و $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

خطوة 7

اجمع المساحات $\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6 + \frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 6 + \frac{10 \sqrt{5} + 22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

خطوة 7.2

أضف $10 \sqrt{5}$ و $10 \sqrt{5}$ .

$- 6 + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

خطوة 7.3

لكتابة $- 6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- 6 \cdot \frac{3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

خطوة 7.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اجمع $- 6$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 6 \cdot 3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

خطوة 7.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 6 \cdot 3 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

خطوة 7.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اضرب $- 6$ في $3$ .

$\frac{- 18 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

خطوة 7.5.2

أضف $- 18$ و $22$ .

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

الصيغة العشرية:

$16.24045318 \dots$

خطوة 9