حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 144 - x^{2}$ ; $[- 12, 12]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$144 - x^{2} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $144 - x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $144$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} = - 144$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 144$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 144$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 144}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 144}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 144}{- 1}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اقسِم $- 144$ على $- 1$ .

$x^{2} = 144$

خطوة 1.2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{144}$

خطوة 1.2.4

بسّط $\pm \sqrt{144}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أعِد كتابة $144$ بالصيغة $12^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{12^{2}}$

خطوة 1.2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 12$

خطوة 1.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 12$

خطوة 1.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 12$

خطوة 1.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 12, - 12$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $12$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(12, 0)$

$(- 12, 0)$

$(12, 0)$

$(- 12, 0)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $144$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 144$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 12}^{12} - x^{2} + 144 d x - \int_{- 12}^{12} 0 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 12$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 12}^{12} - x^{2} + 144 - (0) d x$

خطوة 4.2

اطرح $0$ من $- x^{2} + 144$ .

$\int_{- 12}^{12} - x^{2} + 144 d x$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 12}^{12} - x^{2} d x + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 12}^{12} x^{2} d x + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 12}^{12}) + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

خطوة 4.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 12}^{12}) + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

خطوة 4.7

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 12}^{12}) + 144 x]_{- 12}^{12}$

خطوة 4.8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $12$ وفي $- 12$ .

$- ((\frac{12^{3}}{3}) - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 x]_{- 12}^{12}$

خطوة 4.8.2

احسِب قيمة $144 x$ في $12$ وفي $- 12$ .

$- (\frac{12^{3}}{3} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.1

ارفع $12$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{1728}{3} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $1728$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $1728$ .

$- (\frac{3 \cdot 576}{3} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 576}{3 (1)} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{3 \cdot 576}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{576}{1} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.2.2.4

اقسِم $576$ على $1$ .

$- (576 - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.3

ارفع $- 12$ إلى القوة $3$ .

$- (576 - \frac{- 1728}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 1728$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- 1728$ .

$- (576 - \frac{3 \cdot - 576}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (576 - \frac{3 \cdot - 576}{3 (1)}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (576 - \frac{3 \cdot - 576}{3 \cdot 1}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (576 - \frac{- 576}{1}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.4.2.4

اقسِم $- 576$ على $1$ .

$- (576 - - 576) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.5

اضرب $- 1$ في $- 576$ .

$- (576 + 576) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.6

أضف $576$ و $576$ .

$- 1 \cdot 1152 + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.7

اضرب $- 1$ في $1152$ .

$- 1152 + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.8

اضرب $144$ في $12$ .

$- 1152 + 1728 - 144 \cdot - 12$

خطوة 4.8.3.9

اضرب $- 144$ في $- 12$ .

$- 1152 + 1728 + 1728$

خطوة 4.8.3.10

أضف $1728$ و $1728$ .

$- 1152 + 3456$

خطوة 4.8.3.11

أضف $- 1152$ و $3456$ .

$2304$

خطوة 5