حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ ; $[1, 4]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$4, 8 x^{2}, 1 + y = 0$

خطوة 1.2.1.2

Since $4, 8 x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 8, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}$ .

خطوة 1.2.1.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

$1$ اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

خطوة 1.2.1.4

$4$ لها العاملان $2$ و $2$ .

$2 \cdot 2 + y = 0$

خطوة 1.2.1.5

العوامل الأساسية لـ $8$ هي $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.5.1

$8$ لها العاملان $2$ و $4$ .

$2 \cdot 4$

خطوة 1.2.1.5.2

$4$ لها العاملان $2$ و $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

خطوة 1.2.1.6

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

Not $p r i m e + y = 0$

خطوة 1.2.1.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ $4, 8, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

خطوة 1.2.1.8

اضرب $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.8.1

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \cdot 2 + y = 0$

خطوة 1.2.1.8.2

اضرب $4$ في $2$ .

$8 + y = 0$

خطوة 1.2.1.9

عوامل $x^{2}$ هي $x \cdot x$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $x$ في بعضها بمعدل $2$ من المرات.

$x^{2} = x \cdot x$

خطوة 1.2.1.10

المضاعف المشترك الأصغر لـ $x^{2}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$x \cdot x + y = 0$

خطوة 1.2.1.11

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} + y = 0$

خطوة 1.2.1.12

المضاعف المشترك الأصغر لـ $4, 8 x^{2}, 1$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $8$ في الجزء المتغير.

$8 x^{2} + y = 0$

خطوة 1.2.2

اضرب كل حد في $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ في $8 x^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب كل حد في $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ في $8 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} (8 x^{2}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$8 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$4 (2) \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot 2 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 x^{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2.1.3

اضرب $x^{4}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.3.1

انقُل $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x^{4}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2.1.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{2 + 4} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2.1.3.3

أضف $2$ و $4$ .

$2 x^{6} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.5.1

أخرِج العامل $8$ من $8 x^{2}$ .

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 (x^{2})} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 x^{6} + 1 = 0 (8 x^{2})$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اضرب $0 (8 x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1.1

اضرب $8$ في $0$ .

$2 x^{6} + 1 = 0 x^{2}$

خطوة 1.2.2.3.1.2

اضرب $0$ في $x^{2}$ .

$2 x^{6} + 1 = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{6} = - 1$

خطوة 1.2.3.2

اقسِم كل حد في $2 x^{6} = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اقسِم كل حد في $2 x^{6} = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 1.2.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 1.2.3.2.2.1.2

اقسِم $x^{6}$ على $1$ .

$x^{6} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 1.2.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{6} = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.3.4

بسّط $\pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.4.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2}$ بالصيغة $i^{6} \frac{1^{6}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.4.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $i^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.3.4.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1^{6}}{2}}$

خطوة 1.2.3.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1^{6}}{2}}$

خطوة 1.2.3.4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.3.4.4

أعِد كتابة $\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$

خطوة 1.2.3.4.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$

خطوة 1.2.3.4.6

اجمع $i$ و $\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

خطوة 1.2.3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

خطوة 1.2.3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

خطوة 1.2.3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}, - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{i}{\sqrt[6]{2}}$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

اسرِد جميع الحلول.

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $1$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} - (0) d x$

خطوة 3.2

اطرح $0$ من $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

خطوة 3.4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

خطوة 3.6

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.7

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 3.7.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 3.7.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

خطوة 3.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

خطوة 3.9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

احسِب قيمة $\frac{1}{5} x^{5}$ في $4$ وفي $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

خطوة 3.9.2

احسِب قيمة $- x^{- 1}$ في $4$ وفي $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 4^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 3.9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 3.9.3.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $1024$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 3.9.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 3.9.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 3.9.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1024 - 1}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 3.9.3.6

اطرح $1$ من $1024$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1023}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 3.9.3.7

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1023}{5}$ .

$\frac{1023}{4 \cdot 5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 3.9.3.8

اضرب $4$ في $5$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 3.9.3.9

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

خطوة 3.9.3.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1)$

خطوة 3.9.3.11

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

خطوة 3.9.3.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 1 + 4}{4}$

خطوة 3.9.3.13

أضف $- 1$ و $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}$

خطوة 3.9.3.14

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{8 \cdot 4}$

خطوة 3.9.3.15

اضرب $8$ في $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{32}$

خطوة 3.9.3.16

لكتابة $\frac{1023}{20}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32}$

خطوة 3.9.3.17

لكتابة $\frac{3}{32}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.9.3.18

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $160$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.18.1

اضرب $\frac{1023}{20}$ في $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{20 \cdot 8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.9.3.18.2

اضرب $20$ في $8$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.9.3.18.3

اضرب $\frac{3}{32}$ في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{32 \cdot 5}$

خطوة 3.9.3.18.4

اضرب $32$ في $5$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{160}$

خطوة 3.9.3.19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1023 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{160}$

خطوة 3.9.3.20

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.20.1

اضرب $1023$ في $8$ .

$\frac{8184 + 3 \cdot 5}{160}$

خطوة 3.9.3.20.2

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{8184 + 15}{160}$

خطوة 3.9.3.20.3

أضف $8184$ و $15$ .

$\frac{8199}{160}$

خطوة 4