حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} - 3$ , $[0, 6]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} - 3 = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 3$

خطوة 1.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{3}$

خطوة 1.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{3}$

خطوة 1.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{3}$

خطوة 1.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\sqrt{3}$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{\sqrt{3}} 0 d x - \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} - 3 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $\sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 0 - (x^{2} - 3) d x$

خطوة 3.2

اطرح $x^{2} - 3$ من $0$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - (x^{2} - 3) d x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} + 3 d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

خطوة 3.8

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

خطوة 3.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $\sqrt{3}$ وفي $0$ .

$- ((\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

خطوة 3.9.1.2

احسِب قيمة $3 x$ في $\sqrt{3}$ وفي $0$ .

$- (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

خطوة 3.9.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{3^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

خطوة 3.9.1.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

خطوة 3.9.1.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

خطوة 3.9.1.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

خطوة 3.9.1.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.3.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

خطوة 3.9.1.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

خطوة 3.9.1.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

خطوة 3.9.1.3.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

خطوة 3.9.1.3.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} + 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

خطوة 3.9.1.3.6

أضف $\frac{\sqrt{27}}{3}$ و $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

خطوة 3.9.1.3.7

اضرب $- 3$ في $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} + 0$

خطوة 3.9.1.3.8

أضف $3 \sqrt{3}$ و $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3}$

خطوة 3.9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3} + 3 \sqrt{3}$

خطوة 3.9.2.1.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

خطوة 3.9.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

خطوة 3.9.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

خطوة 3.9.2.3.2

اقسِم $\sqrt{3}$ على $1$ .

$- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

خطوة 3.9.2.4

أضف $- \sqrt{3}$ و $3 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3}$

خطوة 4

$A r e a = \int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x - \int_{\sqrt{3}}^{6} 0 d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $\sqrt{3}$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 - (0) d x$

خطوة 5.2

اطرح $0$ من $x^{2} - 3$ .

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x$

خطوة 5.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} d x + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

خطوة 5.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

خطوة 5.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

خطوة 5.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اجمع $\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6}$ و $- 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

خطوة 5.6.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x$ في $6$ وفي $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - 3 \cdot 6) - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.2.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $216$ .

$\frac{216}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $216$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{72}{1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.2.2.3.2.4

اقسِم $72$ على $1$ .

$72 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.2.2.4

اضرب $- 3$ في $6$ .

$72 - 18 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.2.2.5

اطرح $18$ من $72$ .

$54 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.2.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{3^{3}}$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.2.2.7

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{27} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.2.2.8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{27}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{27}}{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$54 - (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.3.1.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.3.3.2

اقسِم $\sqrt{3}$ على $1$ .

$54 - (\sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.3.4

اطرح $3 \sqrt{3}$ من $\sqrt{3}$ .

$54 - (- 2 \sqrt{3})$

خطوة 5.6.3.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$54 + 2 \sqrt{3}$

خطوة 6

أضف $2 \sqrt{3}$ و $2 \sqrt{3}$ .

$54 + 4 \sqrt{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$54 + 4 \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$60.92820323 \dots$

خطوة 8