حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 4}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 4$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 4] - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 5 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.4

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{x (6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.7

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{x (6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.8

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (6 x + 5 + 0) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.9

أضف $6 x + 5$ و $0$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.2.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{6 x \cdot x + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{6 x^{2} + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.3

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 \cdot x - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.5

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x - - 4}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.6

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

اطرح $5 x$ من $5 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 0 + 4}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.2.2

أضف $6 x^{2} - 3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.3

اطرح $3 x^{2}$ من $6 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.2.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.2.5

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{x^{2} (6 x + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.2.6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} (6 x + 0) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7

أضف $6 x$ و $0$ .

$\frac{x^{2} (6 x) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.4

انقُل $6$ إلى يسار $x^{3}$ .

$\frac{6 \cdot x^{3} - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{6 x^{3} - (3 x^{2} + 4) (2 x)}{x^{4}}$

خطوة 2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

خطوة 2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 x^{3} + (- 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 4) x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2}) x - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.3

اضرب $- 2$ في $4$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 8 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.2

اطرح $6 x^{3}$ من $6 x^{3}$ .

$\frac{0 - 8 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.3

اطرح $8 x$ من $0$ .

$\frac{- 8 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- 8 x$ .

$\frac{x \cdot - 8}{x^{4}}$

خطوة 2.7.4.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.7.4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.7.4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 8}{x^{3}}$

خطوة 2.7.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{8}{x^{3}}$ .

$- \frac{8}{x^{3}}$