حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 - 2 x) e^{x}$

خطوة 1

اكتب $(2 - 2 x) e^{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 2 - 2 x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$(2 - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

خطوة 2.1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

خطوة 2.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.1.3.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \cdot 1)$

خطوة 2.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \cdot - 2$

خطوة 2.1.3.6.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{x}$ .

$(2 - 2 x) e^{x} - 2 \cdot e^{x}$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

خطوة 2.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

اطرح $2 e^{x}$ من $2 e^{x}$ .

$- 2 x e^{x} + 0$

خطوة 2.1.4.2.2

أضف $- 2 x e^{x}$ و $0$ .

$- 2 x e^{x}$

خطوة 2.1.4.3

أعِد ترتيب عوامل $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 e^{x} x$

خطوة 2.1.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{x}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 x e^{x}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 2 x e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 x e^{x} = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 3.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 3.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 2 x e^{x} = 0$ صحيحة.

$x = 0$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - 2 x e^{x}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$ هو $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = - 2 \cdot - 1 \cdot e^{- 1}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot e^{- 1}$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

خطوة 6.2.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{e}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $\frac{2}{e}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - 2 \cdot 1 \cdot e^{1}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f' (1) = - 2 e$

خطوة 7.2.2

الإجابة النهائية هي $- 2 e$ .

$- 2 e$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1$ هو $- 2 e$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, \infty)$ .

تناقص خلال $(0, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 0)$

تناقص خلال: $(0, \infty)$

خطوة 9