حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x - 3}{x + 4}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x - 3}{x + 4}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 3$ و $g (x) = x + 4$ .

$\frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x + 4) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4.2

اضرب $x + 4$ في $1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3)}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x + 4 - x - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 4 - x - - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{0 + 4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.1.2

أضف $0$ و $4$ .

$\frac{4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$\frac{4 + 3}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.3

أضف $4$ و $3$ .

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$7 = 0$

خطوة 3.3

بما أن $7 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 4

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 5

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 4)}^{2} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 5.2.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 6

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$ هو $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ .

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 4)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f' (- 5) = \frac{7}{{((- 5) + 4)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أضف $- 5$ و $4$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{1}$

خطوة 7.2.2

اقسِم $7$ على $1$ .

$f' (- 5) = 7$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $7$ .

$7$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 5$ هو $7$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 4)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 4)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(- 4, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = \frac{7}{{((- 3) + 4)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

أضف $- 3$ و $4$ .

$f' (- 3) = \frac{7}{1^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (- 3) = \frac{7}{1}$

خطوة 8.2.2

اقسِم $7$ على $1$ .

$f' (- 3) = 7$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $7$ .

$7$

خطوة 8.3

المشتق في $x = - 3$ هو $7$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 4, \infty)$ .

تزايد خلال $(- 4, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 4), (- 4, \infty)$

خطوة 10