حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x + 6}{x - 6}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x + 6}{x - 6}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x + 6}{x - 6}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 6$ و $g (x) = x - 6$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) (1 + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4.2

اضرب $x - 6$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 6))}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.7

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{x - 6 - x - 1 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 6 - x - 1 \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1.1

اطرح $x$ من $x$ .

$f' (x) = \frac{0 - 6 - 1 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.1.2

اطرح $6$ من $0$ .

$f' (x) = \frac{- 6 - 1 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$f' (x) = \frac{- 6 - 6}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.3

اطرح $6$ من $- 6$ .

$f' (x) = \frac{- 12}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$ .

$- \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{12}{{(x - 6)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{12}{{(x - 6)}^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$12 = 0$

خطوة 3.3

بما أن $12 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 4

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 5

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 6)}^{2} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 5.2.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 6

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \frac{x + 6}{x - 6}$ هو $(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$ .

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 6)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f' (5) = - \frac{12}{{((5) - 6)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اطرح $6$ من $5$ .

$f' (5) = - \frac{12}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (5) = - \frac{12}{1}$

خطوة 7.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اقسِم $12$ على $1$ .

$f' (5) = - 1 \cdot 12$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $- 1$ في $12$ .

$f' (5) = - 12$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$- 12$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 5$ هو $- 12$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 6)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 6)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f' (7) = - \frac{12}{{((7) - 6)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اطرح $6$ من $7$ .

$f' (7) = - \frac{12}{1^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (7) = - \frac{12}{1}$

خطوة 8.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اقسِم $12$ على $1$ .

$f' (7) = - 1 \cdot 12$

خطوة 8.2.2.2

اضرب $- 1$ في $12$ .

$f' (7) = - 12$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$- 12$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 7$ هو $- 12$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(6, \infty)$ .

تناقص خلال $(6, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, 6), (6, \infty)$

خطوة 10