حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- x^{3} + 6 x^{2} - 18$

خطوة 1

اكتب $- x^{3} + 6 x^{2} - 18$ في صورة دالة.

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 18$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{3} + 6 x^{2} - 18$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $6$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 18]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 18$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $- 3 x^{2} + 12 x$ و $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 x^{2} + 12 x$ .

$- 3 x^{2} + 12 x$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 3 x^{2} + 12 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x^{2} + 12 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 12 x = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $- 3 x$ من $12 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 4 = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x (x) - 3 x (- 4)$ .

$- 3 x (x - 4) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 3.5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 3 x (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 4$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, 4$ .

$0, 4$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = - 3 \cdot 1 + 12 (- 1)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (- 1) = - 3 + 12 (- 1)$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $12$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 - 12$

خطوة 6.2.2

اطرح $12$ من $- 3$ .

$f' (- 1) = - 15$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 15$ .

$- 15$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- 15$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 4)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = - 3 {(2)}^{2} + 12 (2)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 4 + 12 (2)$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 3$ في $4$ .

$f' (2) = - 12 + 12 (2)$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $12$ في $2$ .

$f' (2) = - 12 + 24$

خطوة 7.2.2

أضف $- 12$ و $24$ .

$f' (2) = 12$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $12$ .

$12$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 2$ هو $12$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, 4)$ .

تزايد خلال $(0, 4)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f' (5) = - 3 {(5)}^{2} + 12 (5)$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (5) = - 3 \cdot 25 + 12 (5)$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 3$ في $25$ .

$f' (5) = - 75 + 12 (5)$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $12$ في $5$ .

$f' (5) = - 75 + 60$

خطوة 8.2.2

أضف $- 75$ و $60$ .

$f' (5) = - 15$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 15$ .

$- 15$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 5$ هو $- 15$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(4, \infty)$ .

تناقص خلال $(4, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, 4)$

تناقص خلال: $(- \infty, 0), (4, \infty)$

خطوة 10