حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

خطوة 1.1.1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

خطوة 1.1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 8 x + 41$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

خطوة 1.1.1.2.3

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))$

خطوة 1.1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))$

خطوة 1.1.1.2.5

اضرب $- 8$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))$

خطوة 1.1.1.2.6

بما أن $41$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $41$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + 0)$

خطوة 1.1.1.2.7

أضف $2 x - 8$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8)$

خطوة 1.1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} (2 x - 8)$ .

$f' (x) = (2 x - 8) (\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41})$

خطوة 1.1.1.3.2

اضرب $2 x - 8$ في $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

خطوة 1.1.1.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

خطوة 1.1.1.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 41}$

خطوة 1.1.1.3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 4$ و $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.4.2

اضرب $x^{2} - 8 x + 41$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 8 x + 41$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.7

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.9

اضرب $- 8$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.10

بما أن $41$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $41$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.11.1

أضف $2 x - 8$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.11.2

اجمع $2$ و $\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 + (- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.3.1.1

اضرب $- 8$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.2

اضرب $2$ في $41$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.4

وسّع $(- x + 4) (2 x - 8)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.3.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x - 8) + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.3.1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.3.1.5.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.5.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.3.1.5.1.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.5.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.5.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.5.1.4

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.5.1.5

اضرب $2$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.5.1.6

اضرب $4$ في $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.5.2

أضف $8 x$ و $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 16 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.3.1.7.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.7.2

اضرب $16$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.1.7.3

اضرب $2$ في $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.2

اطرح $4 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 16 x + 82 + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.3

أضف $- 16 x$ و $32 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 82 - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.3.4

اطرح $64$ من $82$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2} + 16 x + 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.4.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.4.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.4.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.4.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ ومجموعهما $b = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.4.2.1.1

أخرِج العامل $8$ من $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.4.2.1.2

أعِد كتابة $8$ في صورة $- 1$ زائد $9$

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.4.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.4.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.4.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.4.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.4.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 1) (x - 9))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.6

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.8

أعِد كتابة $- (x + 1)$ بالصيغة $- 1 (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.10

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 (x + 1) (x - 9) = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

خطوة 1.2.3.2

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 1.2.3.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 1.2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

عيّن قيمة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 9 = 0$

خطوة 1.2.3.3.2

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 9$

خطوة 1.2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (x + 1) (x - 9) = 0$ صحيحة.

$x = - 1, 9$

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x^{2} - 8 x + 41)$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x^{2} - 8 x + 41 > 0$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

خطوة 2.2.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.2.3

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 8$ و $c = 41$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.1.3

اطرح $164$ من $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 100$ بالصيغة $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (100)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.1.7

أعِد كتابة $100$ بالصيغة $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.1.9

انقُل $10$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

خطوة 2.2.4.3

بسّط $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

خطوة 2.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.1.3

اطرح $164$ من $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 100$ بالصيغة $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (100)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.1.7

أعِد كتابة $100$ بالصيغة $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.1.9

انقُل $10$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

خطوة 2.2.5.3

بسّط $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

خطوة 2.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = 4 + 5 i$

خطوة 2.2.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.6.1.2.2

اضرب $- 4$ في $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.6.1.3

اطرح $164$ من $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.6.1.4

أعِد كتابة $- 100$ بالصيغة $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.6.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (100)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.6.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.6.1.7

أعِد كتابة $100$ بالصيغة $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.6.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.6.1.9

انقُل $10$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

خطوة 2.2.6.3

بسّط $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

خطوة 2.2.6.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = 4 - 5 i$

خطوة 2.2.7

حدد المعامل الرئيسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

الحد الرئيسي في متعدد الحدود هو الحد ذو الدرجة الأعلى.

$x^{2}$

خطوة 2.2.7.2

المعامل الرئيسي في متعدد الحدود هو معامل الحد الرئيسي.

$1$

خطوة 2.2.8

بما أنه لا توجد نقاط تقاطع حقيقية مع المحور السيني والمعامل الرئيسي موجب، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى وقيمة $x^{2} - 8 x + 41$ أكبر دائمًا من $0$ .

جميع الأعداد الحقيقية

خطوة 2.3

النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 9) \cup (9, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أضف $- 4$ و $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $2$ في $- 3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3

اطرح $9$ من $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $- 8$ في $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 + 32 + 41)}^{2}}$

خطوة 4.2.2.3

أضف $16$ و $32$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(48 + 41)}^{2}}$

خطوة 4.2.2.4

أضف $48$ و $41$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{89^{2}}$

خطوة 4.2.2.5

ارفع $89$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{7921}$

خطوة 4.2.3

اضرب $- 6$ في $- 13$ .

$f'' (- 4) = - \frac{78}{7921}$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - 1)$ لأن $f'' (- 4)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 1, 9)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{({(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أضف $0$ و $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (1 (0 - 9))}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 9)}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.3

اطرح $9$ من $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $- 8$ في $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 0 + 41)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.3

أضف $0$ و $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 41)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.4

أضف $0$ و $41$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{41^{2}}$

خطوة 5.2.2.5

ارفع $41$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{1681}$

خطوة 5.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $2$ في $- 9$ .

$f'' (0) = - \frac{- 18}{1681}$

خطوة 5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (0) = \frac{18}{1681}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{18}{1681}$ .

$\frac{18}{1681}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- 1, 9)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- 1, 9)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(9, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $12$ في العبارة.

$f'' (12) = - \frac{2 ((12) + 1) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أضف $12$ و $1$ .

$f'' (12) = - \frac{2 \cdot (13 (12 - 9))}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $2$ في $13$ .

$f'' (12) = - \frac{26 (12 - 9)}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

اطرح $9$ من $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $- 8$ في $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 96 + 41)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

اطرح $96$ من $144$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(48 + 41)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.4

أضف $48$ و $41$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{89^{2}}$

خطوة 6.2.2.5

ارفع $89$ إلى القوة $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{7921}$

خطوة 6.2.3

اضرب $26$ في $3$ .

$f'' (12) = - \frac{78}{7921}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(9, \infty)$ لأن $f'' (12)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(9, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- 1, 9)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(9, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 8