حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 49$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 49) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 49) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.2

اضرب $x^{2} + 49$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 49$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49))}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - x (2 x + \frac{d}{d x} (49))}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.5

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $49$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - x (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.7

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 49}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 49) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 49) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 49) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} + 49$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (49)) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (49)) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (49)) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (49)) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.6

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $49$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.7

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 49$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 (x^{2} + 49) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 49$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49)))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + \frac{d}{d x} (49)))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.4

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $49$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) (2 \cdot ((x^{2} + 49) x))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.5.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 49)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.2

أعِد كتابة ${(x^{2} + 49)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 49) (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.3

وسّع $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 49) + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.2

انقُل $49$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 49 \cdot x^{2} + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.3

اضرب $49$ في $49$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 49 x^{2} + 49 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.2

أضف $49 x^{2}$ و $49 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 98 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (98 x^{2}) - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.6.1

اضرب $98$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.6.2

اضرب $- 2$ في $2401$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 4802) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 (x \cdot x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 (x \cdot x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{1 + 2} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.9.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.9.2

اضرب $- 4$ في $49$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.10

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.10.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.10.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.10.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2 + 1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.10.2

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.11

وسّع $(4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} (x^{3} + 49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

أضف $3$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (49 x^{2} x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (49 (x \cdot x^{2})) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (49 (x \cdot x^{2})) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (49 x^{1 + 2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (49 x^{3}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.4

اضرب $4$ في $49$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.5

اضرب $49$ في $- 196$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.2

اطرح $196 x^{3}$ من $196 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 0 - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.3

أضف $4 x^{5}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.2

أضف $- 2 x^{5}$ و $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.3

اطرح $9604 x$ من $- 4802 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.4.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.4.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.1.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 196 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.1.3

أخرِج العامل $2 x$ من $- 14406 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.1.4

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.1.5

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.3

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 98 u - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.4

حلّل $u^{2} - 98 u - 7203$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.4.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 7203$ ومجموعهما $- 98$ .

$- 147, 49$

خطوة 1.1.2.5.4.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 147) (u + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2} + 49$ و ${(x^{2} + 49)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.5.1

أخرِج العامل $x^{2} + 49$ من $2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 49$ من ${(x^{2} + 49)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x (x^{2} - 147) = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 147 = 0$

خطوة 1.2.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 147$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

عيّن قيمة $x^{2} - 147$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 147 = 0$

خطوة 1.2.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 147 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.2.1

أضف $147$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 147$

خطوة 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{147}$

خطوة 1.2.3.3.2.3

بسّط $\pm \sqrt{147}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.2.3.1

أعِد كتابة $147$ بالصيغة $7^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.2.3.1.1

أخرِج العامل $49$ من $147$ .

$x = \pm \sqrt{49 (3)}$

خطوة 1.2.3.3.2.3.1.2

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{7^{2} \cdot 3}$

خطوة 1.2.3.3.2.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm 7 \sqrt{3}$

خطوة 1.2.3.3.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 7 \sqrt{3}$

خطوة 1.2.3.3.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 7 \sqrt{3}$

خطوة 1.2.3.3.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

خطوة 1.2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x (x^{2} - 147) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x}{x^{2} + 49}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} + 49 = 0$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $49$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 49$

خطوة 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

خطوة 2.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 49}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $- 49$ بالصيغة $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (49)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

خطوة 2.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

خطوة 2.2.3.4

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

خطوة 2.2.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm i \cdot 7$

خطوة 2.2.3.6

انقُل $7$ إلى يسار $i$ .

$x = \pm 7 i$

خطوة 2.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 7 i$

خطوة 2.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 7 i$

خطوة 2.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 7 i, - 7 i$

خطوة 2.3

النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 7 \sqrt{3}) \cup (- 7 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 7 \sqrt{3}) \cup (7 \sqrt{3}, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 15$ في العبارة.

$f'' (- 15) = \frac{2 (- 15) ({(- 15)}^{2} - 147)}{{({(- 15)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $2$ في $- 15$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 30 ({(- 15)}^{2} - 147)}{{({(- 15)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 4.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $- 15$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 30 ({(- 15)}^{2} - 147)}{{(225 + 49)}^{3}}$

خطوة 4.2.2.2

أضف $225$ و $49$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 30 ({(- 15)}^{2} - 147)}{274^{3}}$

خطوة 4.2.2.3

ارفع $274$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 30 ({(- 15)}^{2} - 147)}{20570824}$

خطوة 4.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ارفع $- 15$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 30 (225 - 147)}{20570824}$

خطوة 4.2.3.2

اطرح $147$ من $225$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 30 \cdot 78}{20570824}$

خطوة 4.2.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اضرب $- 30$ في $78$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 2340}{20570824}$

خطوة 4.2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2340$ و $20570824$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 2340$ .

$f'' (- 15) = \frac{4 (- 585)}{20570824}$

خطوة 4.2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $20570824$ .

$f'' (- 15) = \frac{4 \cdot - 585}{4 \cdot 5142706}$

خطوة 4.2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 15) = \frac{4 \cdot - 585}{4 \cdot 5142706}$

خطوة 4.2.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 15) = \frac{- 585}{5142706}$

خطوة 4.2.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 15) = - \frac{585}{5142706}$

خطوة 4.2.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{585}{5142706}$ .

$- \frac{585}{5142706}$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ لأن $f'' (- 15)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 147)}{{({(- 2)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 147)}{{({(- 2)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 147)}{{(4 + 49)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $4$ و $49$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 147)}{53^{3}}$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $53$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 147)}{148877}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 (4 - 147)}{148877}$

خطوة 5.2.3.2

اطرح $147$ من $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot - 143}{148877}$

خطوة 5.2.4

اضرب $- 4$ في $- 143$ .

$f'' (- 2) = \frac{572}{148877}$

خطوة 5.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{572}{148877}$ .

$\frac{572}{148877}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ لأن $f'' (- 2)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, 7 \sqrt{3})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = \frac{2 (2) ({(2)}^{2} - 147)}{{({(2)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 147)}{{(2^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 147)}{{(4 + 49)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $4$ و $49$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 147)}{53^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $53$ إلى القوة $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 147)}{148877}$

خطوة 6.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (4 - 147)}{148877}$

خطوة 6.2.3.2

اطرح $147$ من $4$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot - 143}{148877}$

خطوة 6.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اضرب $4$ في $- 143$ .

$f'' (2) = \frac{- 572}{148877}$

خطوة 6.2.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (2) = - \frac{572}{148877}$

خطوة 6.2.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{572}{148877}$ .

$- \frac{572}{148877}$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(0, 7 \sqrt{3})$ لأن $f'' (2)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(0, 7 \sqrt{3})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(7 \sqrt{3}, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $15$ في العبارة.

$f'' (15) = \frac{2 (15) ({(15)}^{2} - 147)}{{({(15)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $2$ في $15$ .

$f'' (15) = \frac{30 (15^{2} - 147)}{{(15^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $15$ إلى القوة $2$ .

$f'' (15) = \frac{30 (15^{2} - 147)}{{(225 + 49)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $225$ و $49$ .

$f'' (15) = \frac{30 (15^{2} - 147)}{274^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $274$ إلى القوة $3$ .

$f'' (15) = \frac{30 (15^{2} - 147)}{20570824}$

خطوة 7.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ارفع $15$ إلى القوة $2$ .

$f'' (15) = \frac{30 (225 - 147)}{20570824}$

خطوة 7.2.3.2

اطرح $147$ من $225$ .

$f'' (15) = \frac{30 \cdot 78}{20570824}$

خطوة 7.2.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اضرب $30$ في $78$ .

$f'' (15) = \frac{2340}{20570824}$

خطوة 7.2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $2340$ و $20570824$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $2340$ .

$f'' (15) = \frac{4 (585)}{20570824}$

خطوة 7.2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $20570824$ .

$f'' (15) = \frac{4 \cdot 585}{4 \cdot 5142706}$

خطوة 7.2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (15) = \frac{4 \cdot 585}{4 \cdot 5142706}$

خطوة 7.2.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (15) = \frac{585}{5142706}$

خطوة 7.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{585}{5142706}$ .

$\frac{585}{5142706}$

خطوة 7.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(7 \sqrt{3}, \infty)$ لأن $f'' (15)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(7 \sqrt{3}, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(0, 7 \sqrt{3})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(7 \sqrt{3}, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 9