حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} x^{3} \ln (x)$

خطوة 1

غيّر الحد بجانبين إلى حد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} x^{3} \ln (x)$

خطوة 2

أعِد كتابة $x^{3} \ln (x)$ بالصيغة $\frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

خطوة 3.1.2

عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، تتناقص $\ln (x)$ بلا حدود.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 3.1.3.2

بما أن البسط عدد ثابت والقاسم يقترب من $0$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، إذن الكسر $\frac{1}{x^{3}}$ يقترب من قيمة غير متناهية.

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 3.1.3.3

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 3.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

خطوة 3.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 x^{- 4}}$

خطوة 3.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

خطوة 3.3.4.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

خطوة 3.3.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{4}}{3})$

خطوة 3.5

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{x^{4}}{3}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{4}}{x \cdot 3}$

خطوة 3.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

خطوة 3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x (3)}$

خطوة 3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

خطوة 3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{3}}{3}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{3}}{3}$

خطوة 4.2

انقُل الحد $\frac{1}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x^{3}$

خطوة 4.3

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$- \frac{1}{3} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{1}{3} \cdot 0$

خطوة 6.2

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3})$

خطوة 6.2.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{3}$ .

$0$