حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - 4 x^{2}$

خطوة 1

انظر قاعدة ناتج الفرق.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = - 4 {(x + h)}^{2}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أعِد كتابة ${(x + h)}^{2}$ بالصيغة $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 4 ((x + h) (x + h))$

خطوة 2.1.2.2

وسّع $(x + h) (x + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = - 4 (x (x + h) + h (x + h))$

خطوة 2.1.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = - 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

خطوة 2.1.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = - 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

خطوة 2.1.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

خطوة 2.1.2.3.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

خطوة 2.1.2.3.2

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $h$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

خطوة 2.1.2.3.2.2

أضف $h x$ و $h x$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

خطوة 2.1.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = - 4 x^{2} - 4 (2 h x) - 4 h^{2}$

خطوة 2.1.2.5

اضرب $2$ في $- 4$ .

$f (x + h) = - 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$

خطوة 2.1.2.6

الإجابة النهائية هي $- 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $- 4 x^{2}$ .

$- 8 h x - 4 h^{2} - 4 x^{2}$

خطوة 2.2.2

أعِد ترتيب $- 8 h x$ و $- 4 h^{2}$ .

$- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = - 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

$f (x) = - 4 x^{2}$

$f (x + h) = - 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

$f (x) = - 4 x^{2}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} - (- 4 x^{2})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + 4 x^{2}}{h}$

خطوة 4.1.2

أعِد كتابة $4 x^{2}$ بالصيغة ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + {(2 x)}^{2}}{h}$

خطوة 4.1.3

أعِد كتابة $4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$ بالصيغة ${(2 h + 2 x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أعِد كتابة $4 h^{2}$ بالصيغة ${(2 h)}^{2}$ .

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 8 h x + 4 x^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

خطوة 4.1.3.2

أعِد كتابة $4 x^{2}$ بالصيغة ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 8 h x + {(2 x)}^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

خطوة 4.1.3.3

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$8 h x = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x)$

خطوة 4.1.3.4

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x) + {(2 x)}^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

خطوة 4.1.3.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = 2 h$ و $b = 2 x$ .

$\frac{- {(2 h + 2 x)}^{2} + {(2 x)}^{2}}{h}$

خطوة 4.1.4

أعِد ترتيب $- {(2 h + 2 x)}^{2}$ و ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - {(2 h + 2 x)}^{2}}{h}$

خطوة 4.1.5

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2 x$ و $b = 2 h + 2 x$ .

$\frac{(2 x + 2 h + 2 x) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

خطوة 4.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$\frac{(4 x + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

خطوة 4.1.6.2

أخرِج العامل $2$ من $4 x + 2 h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x$ .

$\frac{(2 (2 x) + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

خطوة 4.1.6.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 h$ .

$\frac{(2 (2 x) + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

خطوة 4.1.6.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x) + 2 h$ .

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

خطوة 4.1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - (2 h) - (2 x))}{h}$

خطوة 4.1.6.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - 2 h - (2 x))}{h}$

خطوة 4.1.6.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - 2 h - 2 x)}{h}$

خطوة 4.1.6.6

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{2 (2 x + h) (- 2 h + 0)}{h}$

خطوة 4.1.6.7

أضف $- 2 h$ و $0$ .

$\frac{2 (2 x + h) \cdot - 2 h}{h}$

خطوة 4.1.6.8

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{- 4 (2 x + h) h}{h}$

خطوة 4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 (2 x + h) h}{h}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $- 4 (2 x + h)$ على $1$ .

$- 4 (2 x + h)$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 4 (2 x) - 4 h$

خطوة 4.2.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$- 8 x - 4 h$

خطوة 5