حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x^{2} + 5)}^{9}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{9}$ و $g (x) = x^{2} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 9$ .

$9 u^{8} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 5$ .

$9 {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$9 {(x^{2} + 5)}^{8} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$9 {(x^{2} + 5)}^{8} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 1.2.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$9 {(x^{2} + 5)}^{8} (2 x + 0)$

خطوة 1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$9 {(x^{2} + 5)}^{8} (2 x)$

خطوة 1.2.4.2

اضرب $2$ في $9$ .

$18 {(x^{2} + 5)}^{8} x$

خطوة 1.2.4.3

أعِد ترتيب عوامل $18 {(x^{2} + 5)}^{8} x$ .

$f' (x) = 18 x {(x^{2} + 5)}^{8}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $18 x {(x^{2} + 5)}^{8}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 5)}^{8}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 5)}^{8}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{8}$ .

$18 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{8}] + {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{8}$ و $g (x) = x^{2} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 5$ .

$18 (x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$18 (x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 5$ .

$18 (x (8 {(x^{2} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$18 (x (8 {(x^{2} + 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$18 (x (8 {(x^{2} + 5)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$18 (x (8 {(x^{2} + 5)}^{7} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$18 (x (8 {(x^{2} + 5)}^{7} (2 x)) + {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4.4.2

اضرب $2$ في $8$ .

$18 (x (16 {(x^{2} + 5)}^{7} x) + {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$18 (x^{1} x (16 {(x^{2} + 5)}^{7}) + {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$18 (x^{1} x^{1} (16 {(x^{2} + 5)}^{7}) + {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$18 (x^{1 + 1} (16 {(x^{2} + 5)}^{7}) + {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.8

أضف $1$ و $1$ .

$18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 5)}^{7}) + {(x^{2} + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 5)}^{7}) + {(x^{2} + 5)}^{8} \cdot 1)$

خطوة 2.10

اضرب ${(x^{2} + 5)}^{8}$ في $1$ .

$18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 5)}^{7}) + {(x^{2} + 5)}^{8})$

خطوة 2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 5)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 5)}^{8}$

خطوة 2.11.2

اضرب $16$ في $18$ .

$288 (x^{2} ({(x^{2} + 5)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 5)}^{8}$

خطوة 2.11.3

أخرِج العامل $18 {(x^{2} + 5)}^{7}$ من $288 x^{2} {(x^{2} + 5)}^{7} + 18 {(x^{2} + 5)}^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.3.1

أخرِج العامل $18 {(x^{2} + 5)}^{7}$ من $288 x^{2} {(x^{2} + 5)}^{7}$ .

$18 {(x^{2} + 5)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 5)}^{8}$

خطوة 2.11.3.2

أخرِج العامل $18 {(x^{2} + 5)}^{7}$ من $18 {(x^{2} + 5)}^{8}$ .

$18 {(x^{2} + 5)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 5)}^{7} (x^{2} + 5)$

خطوة 2.11.3.3

أخرِج العامل $18 {(x^{2} + 5)}^{7}$ من $18 {(x^{2} + 5)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 5)}^{7} (x^{2} + 5)$ .

$18 {(x^{2} + 5)}^{7} (16 x^{2} + x^{2} + 5)$

خطوة 2.11.4

أضف $16 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 5)}^{7} (17 x^{2} + 5)$