حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} + 1$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 1) x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1.1

اطرح $2 x^{2} x$ من $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 1 x) + 0 - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.1.2

أضف $2 \cdot - 1 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 1 x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.2.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.3

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

خطوة 1.3.7.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

خطوة 1.3.7.3

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.2

اضرب ${(x + 1)}^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ و $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

انقُل $2$ إلى يسار ${(x + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 1)}^{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + 0) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) \cdot 1 + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x + 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 (x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

انقُل $2$ إلى يسار ${(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 \cdot ({(x - 1)}^{2} (x + 1)) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + 0))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) \cdot 1)}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8.5.3

اجمع $- 4$ و $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8.5.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{(4) ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

طبّق قاعدة الضرب على ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)) - x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + 4 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.1

أخرِج العامل $4 (x + 1) (x - 1)$ من $4 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} + 4 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.1.1

أخرِج العامل $4 (x + 1) (x - 1)$ من $4 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 4 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.1.2

أخرِج العامل $4 (x + 1) (x - 1)$ من $4 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)))$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.1.3

أخرِج العامل $4 (x + 1) (x - 1)$ من $4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.1.4

أخرِج العامل $4 (x + 1) (x - 1)$ من $4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1)))$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.1.5

أخرِج العامل $4 (x + 1) (x - 1)$ من $4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1)) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.3.1

وسّع $(x + 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.3.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.2.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.2.2

أضف $- x$ و $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 0 - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.2.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.3.4.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.7

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.3.7.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.7.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.3.8

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.4.1

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.4.2

أضف $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.5

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- x^{2} - 1 - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.4.6

اطرح $2 x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.5.1

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.5.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9.5.2

اضرب الأُسس في ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.9.5.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.9.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $x + 1$ و ${(x + 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.5.3.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 1) ((4 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.9.5.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.5.3.2.1

أخرِج العامل $x + 1$ من ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 1) ((4 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

خطوة 2.9.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - \frac{(x + 1) ((4 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

خطوة 2.9.5.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - \frac{(4 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.9.5.4

احذِف العامل المشترك لـ $x - 1$ و ${(x - 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.5.4.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $4 (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 1) (4 (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.9.5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.5.4.2.1

أخرِج العامل $x - 1$ من ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 1) (4 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

خطوة 2.9.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - \frac{(x - 1) (4 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

خطوة 2.9.5.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.9.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (3 x^{2}) - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.9.7

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.9.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.9.9

أعِد كتابة $- (3 x^{2} + 1)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.9.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.9.11

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}})$

خطوة 2.9.12

اضرب $\frac{4 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$