حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{x - 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (x - 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.2

أخرِج العامل $x$ من $- 4 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 4)] - x (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 4)] - x (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 4)] - x (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x - 4$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.4.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.4.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x + (x - 4) \cdot 1) - x (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.4.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

اضرب $x - 4$ في $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x + x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.4.6.2

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - x (x - 4) (2 u \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - x (x - 4) (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - 2 x (x - 4) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.6.2

أخرِج العامل $x - 2$ من ${(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - 2 x (x - 4) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

أخرِج العامل $x - 2$ من ${(x - 2)}^{2} (2 x - 4)$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) - 2 x (x - 4) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.6.2.2

أخرِج العامل $x - 2$ من $- 2 x (x - 4) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) + (x - 2) (- 2 x (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.6.2.3

أخرِج العامل $x - 2$ من $(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) + (x - 2) (- 2 x (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 x (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أخرِج العامل $x - 2$ من ${(x - 2)}^{4}$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 x (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 x (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 x (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 x (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 x (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.10

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 x (x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 x (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.11.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.1

وسّع $(x - 2) (2 x - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x - 4) - 2 (2 x - 4) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x - 4) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.3

انقُل $- 4$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 4 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.5

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 4 x + 8 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.2

اطرح $4 x$ من $- 4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.4

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 8 x}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.2.1

اطرح $2 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{- 8 x + 8 + 0 + 8 x}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.2.2

أضف $- 8 x + 8$ و $0$ .

$\frac{- 8 x + 8 + 8 x}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.2.3

أضف $- 8 x$ و $8 x$ .

$\frac{0 + 8}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.2.4

أضف $0$ و $8$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 2)}^{3}}$