حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x}{x - 5}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

اضرب $x - 5$ في $1$ .

$\frac{x - 5 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x - 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x - 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x - 5 - x (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x - 5 - x \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x - 5 - x}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.3

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{0 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.4.1

اطرح $5$ من $0$ .

$\frac{- 5}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}]$

خطوة 2.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ بالصيغة ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [{({(x - 5)}^{2})}^{- 1}]$

خطوة 2.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2 \cdot - 1}]$

خطوة 2.1.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{- 2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 5$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$- 5 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 5])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 5$ .

$- 5 (- 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 5])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 2$ في $- 5$ .

$10 ({(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 5])$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$10 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$10 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0)$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$10 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $10$ في $1$ .

$10 {(x - 5)}^{- 3}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.4.2

اجمع $10$ و $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{{(x - 5)}^{3}}$