حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{1 + t}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{1 + t}$ بالصيغة ${(1 + t)}^{- 1}$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} ({(1 + t)}^{- 1})$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = 1 + t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + t$ .

$f' (t) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d t} (1 + t)$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (t) = - u^{- 2} \frac{d}{d t} (1 + t)$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + t$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} (1 + t)$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (t))$

خطوة 1.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} (t))$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} t$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \cdot 1$

خطوة 1.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (t) = - \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = - 1$ و $g (t) = \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} \cdot \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

خطوة 2.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ بالصيغة ${({(1 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {({(1 + t)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

خطوة 2.2.2

اضرب الأُسس في ${({(1 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {(1 + t)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {(1 + t)}^{- 2} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 2}$ و $g (t) = 1 + t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + t$ .

$f'' (t) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$f'' (t) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + t$ .

$f'' (t) = - (- 2 {(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f'' (t) = 2 ({(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

خطوة 2.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

خطوة 2.4.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} (t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

خطوة 2.4.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (t) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

خطوة 2.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

خطوة 2.4.6

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

خطوة 2.4.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.4.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.8.1

اضرب $\frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ في $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + 0$

خطوة 2.4.8.2

أضف $2 {(1 + t)}^{- 3}$ و $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (t) = 2 (\frac{1}{{(1 + t)}^{3}})$

خطوة 2.5.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{{(1 + t)}^{3}}$ .

$f'' (t) = \frac{2}{{(1 + t)}^{3}}$

خطوة 2.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (t) = \frac{2}{{(t + 1)}^{3}}$