حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4 x + 4}{x^{2} + 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 4 x + 4$ و $g (x) = x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (4 x + 4) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

اضرب $4$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 + 0) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $4$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \cdot 4 - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.2

انقُل $4$ إلى يسار $x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{4 \cdot (x^{2} + 3) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.9

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.10.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - 2 (4 x + 4) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3 - 2 (4 x + 4) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 4) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) x - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.1

اضرب $4$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 2 (4 x) x - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.2.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 2 (4 (x \cdot x)) - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 2 (4 x^{2}) - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.1.3

اضرب $4$ في $- 2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 8 x^{2} - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.1.4

اضرب $- 2$ في $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 8 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.2

اطرح $8 x^{2}$ من $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 12 - 8 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 8 x + 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x^{2} - 8 x + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) - 8 x + 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.1.2

أخرِج العامل $4$ من $- 8 x$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.1.3

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.1.4

أخرِج العامل $4$ من $4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.1.5

أخرِج العامل $4$ من $4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (3)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 2 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ ومجموعهما $b = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 2 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.2.1.2

أعِد كتابة $- 2$ في صورة $1$ زائد $- 3$

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + (1 - 3) x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + 1 x - 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.2.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + x - 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$f' (x) = \frac{4 ((- x^{2} + x) - 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$f' (x) = \frac{4 (x (- x + 1) + 3 (- x + 1))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x + 1$ .

$f' (x) = \frac{4 ((- x + 1) (x + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{4 (- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$f' (x) = \frac{4 (- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.8

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.10

أعِد كتابة $- (x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- 1 (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{(4 (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.12

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(4 (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{4 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{4 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 3)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 3)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 3)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x - 1$ و $g (x) = x + 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.5.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.2

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.5.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.5.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.5.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (1 + 0)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.5.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) \cdot 1) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.5.8.2

اضرب $x + 3$ في $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + x + 3) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.5.8.3

أضف $x$ و $x$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x - 1 + 3) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.5.8.4

أضف $- 1$ و $3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.7

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.7.2

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من ${(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من ${(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2)$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.7.2.2

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من $- 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) + (x^{2} + 3) (- 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.7.2.3

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من $(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) + (x^{2} + 3) (- 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.8

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.11

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.12.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.12.3

اجمع $- 4$ و $\frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.12.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{(4) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 ((x^{2} + 3) (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.1

وسّع $(x^{2} + 3) (2 x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} (2 x + 2) + 3 (2 x + 2)) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x + 2)) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.2.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.2.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.2.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.2.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.2.4

اضرب $2$ في $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.2.5

اضرب $3$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 6) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.4.1

اضرب $2$ في $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 4 (2 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.4.2

اضرب $2$ في $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.4.3

اضرب $6$ في $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.4.4

اضرب $4$ في $6$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.5

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x + 4) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.6

وسّع $(- 4 x + 4) (x + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x (x + 3) + 4 (x + 3)) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3 + 4 (x + 3)) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.7.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.7.1.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.7.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.7.1.2

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 12 x + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.7.1.3

اضرب $4$ في $3$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 12 x + 4 x + 12) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.7.2

أضف $- 12 x$ و $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 8 x + 12) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.8

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{2} x - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.9.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.9.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.9.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.9.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.9.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{1 + 2} - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.9.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3} - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.9.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.9.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3} - 8 (x \cdot x) + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.9.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.10

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3}) + 4 (- 8 x^{2}) + 4 (12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1.11.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 16 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) + 4 (12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.11.2

اضرب $- 8$ في $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 16 x^{3} - 32 x^{2} + 4 (12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.1.11.3

اضرب $12$ في $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 16 x^{3} - 32 x^{2} + 48 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.2

اطرح $16 x^{3}$ من $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 32 x^{2} + 48 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.3

اطرح $32 x^{2}$ من $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{3} - 24 x^{2} + 24 x + 24 + 48 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.3.4

أضف $24 x$ و $48 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{3} - 24 x^{2} + 72 x + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.4

أخرِج العامل $8$ من $- 8 x^{3} - 24 x^{2} + 72 x + 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.4.1

أخرِج العامل $8$ من $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) - 24 x^{2} + 72 x + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.4.2

أخرِج العامل $8$ من $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2}) + 72 x + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.4.3

أخرِج العامل $8$ من $72 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2}) + 8 (9 x) + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.4.4

أخرِج العامل $8$ من $24$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2}) + 8 (9 x) + 8 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.4.5

أخرِج العامل $8$ من $8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 8 (9 x) + 8 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.4.6

أخرِج العامل $8$ من $8 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 8 (9 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) + 8 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.4.7

أخرِج العامل $8$ من $8 (- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) + 8 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.8

أخرِج العامل $- 1$ من $9 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 9 x) + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 9 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x) + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.10

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.12

أعِد كتابة $- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)$ بالصيغة $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.13.14

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

خطوة 2.13.15

اضرب $\frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$