حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4}{x^{2} + 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} + 1}$ بالصيغة ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$4 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 4 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 4 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 4 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

خطوة 1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$- 4 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

خطوة 1.3.5.2

اضرب $2$ في $- 4$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

خطوة 1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

خطوة 1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

خطوة 1.4.2.3

اجمع $x$ و $\frac{8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.2.4

انقُل $8$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.3.3

اضرب ${(x^{2} + 1)}^{2}$ في $1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.2

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.2.2

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.2.3

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.10.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.14

أضف $1$ و $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.15

اطرح $4 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$- 8 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.16

اجمع $- 8$ و $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 8 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.17

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.18.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.18.2.1

اضرب $- 3$ في $8$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.2.2

اضرب $8$ في $1$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.3

أخرِج العامل $8$ من $- 24 x^{2} + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.18.3.1

أخرِج العامل $8$ من $- 24 x^{2}$ .

$- \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.3.2

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$- \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.3.3

أخرِج العامل $8$ من $8 (- 3 x^{2}) + 8 (1)$ .

$- \frac{8 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{8 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{8 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{8 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.7

أعِد كتابة $- (3 x^{2} - 1)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{8 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{8 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{8 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.10

اضرب $\frac{8 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$